Задача по вариационному исчислению

[maxmatem]

Вот попалась задачка
Надо найти время затраченное на перемещение точки $M$ по кривой
$\[ \gamma :y = y(x) \] $
из точки$\[A(x_0 ;y_0 )\]$ в точку $\[B(x_1 ;y_1 )\]$

если $\[\frac{{dr}}{{dt}} = v(y')\]$

Вот, пока идей нет....

[VPro]

Странно как-то... У Эйлера и Лагранжа 250 лет назад идеи были, а у Вас нет... Это во-первых.
А во-вторых в вашей формулировке именно задачи вариационного исчисления нет.

[maxmatem]

VPro
Ну во-первых , я не Эйлер, а во-вторых задача была задана на семинаре по ВИ, вот и думаю как решить.
Вот мне кажется что
$\[ \begin{gathered} \frac{{dr}} {{dt}} = v(y') = \sqrt {1 + (y')^2 } \frac{{dx}} {{dt}} \hfill \\ \hfill \\ dt = \frac{{\sqrt {1 + (y')^2 } }} {{v(y')}}dx \hfill \\ \end{gathered} \]$
Тогда

$\[ t = \int\limits_{x_0 }^{x_1 } {\frac{{\sqrt {1 + (y')^2 } }} {{v(y')}}dx} \] $

[VPro]

maxmatem в сообщении #419129 писал(а):

Вот мне кажется что
$\[ \begin{gathered} \frac{{dr}} {{dt}} = v(y') = \sqrt {1 + (y')^2 } \frac{{dx}} {{dt}} \hfill \\ \hfill \\ dt = \frac{{\sqrt {1 + (y')^2 } }} {{v(y')}}dx \hfill \\ \end{gathered} \]$
Тогда

$\[ t = \int\limits_{x_0 }^{x_1 } {\frac{{\sqrt {1 + (y')^2 } }} {{v(y')}}dx} \] $

Вас не затруднит пояснить смысл переменных $r$ и $v$? Да и Ваше филигранное жонглирование символами находится за пределами моего разумения. Можно это все с комментариями?

[maxmatem]

VPro
$v$-скорость
$r$-путь

[VPro]

Тогда конечная формула верна. Кстати, вот если бы Вас теперь попросили найти уравнение кривой соединяющей две заданные точки, для которой это время бьло бы минимально, то тогда это была бы задача ВИ.

[maxmatem]

VPro
Спасибо. Вот и я немного в прострации причём здесь вариационное исчисление..

[VPro]

VPro в сообщении #419158 писал(а):

Кстати, вот если бы Вас теперь попросили найти уравнение кривой соединяющей две заданные точки, для которой это время бьло бы минимально, то тогда это была бы задача ВИ.

Тут интересная ситуация: с одной стороны, представляется очевидным, что кривая, на которой достигается минимум времени движения есть прямая. (Конечно, скорость $v>0$). С другой стороны попытка прикинуть уравнение Эйлера приводит к весьма сложным на вид не подьемным уравнениям.