Уравнение в F_8^2 (количество решений)

[id]

Интересует число решений $(x,y) \in \mathbb F_8^2$ уравнения $y^2 + y +x^3+1 = 0$. Решений 8, но вопрос в том, как подсчитать их не банальным перебором.

Была "подсказка", что можно попробовать применить автоморфизм Фробениуса, который что-то упростит, и обратить внимание на биекцию $x \to x^3$ (то, что это биекция, я доказал, беда в том, что это не автоморфизм); но что-то не ясно, как.

Что же делать?

[Xaositect]

id в сообщении #413821 писал(а):

(то, что это биекция, я доказал, беда в том, что это не автоморфизм);

В данном конкретном случае неважно, скорее всего имелось в виду, что можно сделать замену $x' = x^3$ или даже $x' = x^3 + 1$, и что эта замена будет биекцией, и потому кол-во решений не изменится. Ну а дальше все просто - получаем $y^2 + y = x'$, и решений, очевидно, 8 - по одному для каждого возможного значения $y$.

[id]

Спасибо!
Хм, интересно, и зачем тут нужен был бы автоморфизм?..