Сходимость

[myra_panama]

Найти предел
$\lim\limits_{t \to +0}\frac{(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-n^2 t}}{n})}{\ln t}$

можно ли в сумме перейти в интегральной Коши.............
Задачка когда то выдел в олимпиадных учебниках...

[ewert]

myra_panama в сообщении #411395 писал(а):

можно ли в сумме перейти в интегральной Коши.............

Напрямую нельзя -- предельный интеграл получится расходящимся.

Надо разбить сумму на две -- по $1\leqslant n\leqslant\frac{\varepsilon}{\sqrt{t}}$ и по $n>\frac{\varepsilon}{\sqrt{t}}$. Вторая сумма при фиксированном $\varepsilon$ действительно оценивается сверху через соответствующий интеграл и после деления на логарифм даёт в пределе ноль. Первая же двусторонне оценивается через частичную сумму гармонического ряда, ведущую себя (опять же при фиксированном $\varepsilon$) действительно примерно пропорционально $\ln t$. При уменьшении $\varepsilon$ постоянные множители в этих оценках стремятся к единице, и если теперь выбрать $\varepsilon(t)$ достаточно медленно стремящимся к нулю при $t\to0$, то нужный предел ($-\frac12$) и получится.

[myra_panama]

myra_panama в сообщении #411395 писал(а):

нужный предел ($-\frac12$) и получится.

по моему в ответе было не отрицательный а было $\frac12$

[ewert]

Он не может не быть отрицательным (если уж не ноль). Ведь в числителе -- явный плюс, в то время как в знаменателе -- не менее явный минус.

[myra_panama]

Имеем
$0\le \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-n^2t}}{n}-\int\limits_{1}^{\infty}\frac{e^{-x^2t}}{x}dx\le1$
отсюда по моему можно перейти из сумма в интеграл.
Интеграл можно разделить в трех интегралах.. в $(\sqrt t , 1) ,(1 ,\infty) $