Условное Матожидание

[Gortaur]

Решил обновить свои знания в ТВ. Не могу доказать что для интегрируемой $\xi$ верно, что

$$ \mathrm{E}[\mathrm{E}[\xi|\mathcal{G}]\eta] = \mathrm{E}[\mathrm{E}[\eta|\mathcal{G}]\xi]. $$

Где $\eta$ и $\mathcal{G}$ - произвольны.

[ShMaxG]

Может так:

$\[\mathbb{E}\left( {\mathbb{E}\left[ {\xi |\mathcal{G}} \right]\eta } \right) = \mathbb{E}\left( {\mathbb{E}\left[ {\eta \xi |\mathcal{G}} \right]} \right) = \mathbb{E}\left( {\mathbb{E}\left[ {\eta |\mathcal{G}} \right]\xi } \right)\]$

См. Ширяева, параграф про условные вероятности и матожидания относительно разбиений.

[Gortaur]

Да уже разобрался, надо было сделать

$$ \mathbb{E}[\mathbb{E}[\xi\mathcal{G}]\eta] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[\xi\mathcal{G}]\mathbb{E}[\eta\mathcal{G}]] $$

[ShMaxG]

А мой подход правильный?

[Gortaur]

Не уверен, что это верно для зависимых... У Вас получается, что это равно в итоге

$$ \mathbb{E}[\xi\eta]. $$

[Хорхе]

ShMaxG в сообщении #410975 писал(а):

$\[\mathbb{E}\left( {\mathbb{E}\left[ {\xi |\mathcal{G}} \right]\eta } \right) = \mathbb{E}\left( {\mathbb{E}\left[ {\eta \xi |\mathcal{G}} \right]} \right)$

Это неправильно: например, $\xi=\eta\sim N(0,1)$, $\mathcal G$ тривиальна.

[--mS--]

Gortaur в сообщении #410966 писал(а):

Решил обновить свои знания в ТВ. Не могу доказать что для интегрируемой $\xi$ верно, что

$$ \mathrm{E}[\mathrm{E}[\xi|\mathcal{G}]\eta] = \mathrm{E}[\mathrm{E}[\eta|\mathcal{G}]\xi]. $$

Где $\eta$ и $\mathcal{G}$ - произвольны.

Gortaur в сообщении #410985 писал(а):

Да уже разобрался, надо было сделать

$$ \mathbb{E}[\mathbb{E}[\xi\mathcal{G}]\eta] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[\xi\mathcal{G}]\mathbb{E}[\eta\mathcal{G}]] $$

Непонятно, что доказывается, поскольку ни одно из равенств выше неверно, и контрпримеры тому тривиальны.

[Gortaur]

Однако это сильно сказано. В таком случае, пожалуйста, приведите контрпримеры.
От себя же добавлю, что

$$ E[E[\xi|G]\eta] = E[E[E[\xi|G]\eta|G]] = E[E[\xi|G]E[\eta|G]]. $$

Что же тут неверного?

[--mS--]

Gortaur в сообщении #411079 писал(а):

Однако это сильно сказано. В таком случае, пожалуйста, приведите контрпримеры.

Да, что-то это я погорячилась :) Обычная формула последовательного усреднения :)
В оправдание себя - исправьте формулу в сообщении post410985.html#p410985, иначе $\mathsf E[\xi\mathcal G]$ воспринимается только как матожидание по событию из $\mathcal G$, а равенство - как тождество на всех событиях. Именно так я его и прочла.

[Gortaur]

Уже не могу.

[--mS--]

Ну да, не посмотрела на время.