Ряд тейлора в окрестности 1

[ShMaxG]

integral2009
Ну я имел ввиду, что авторы наверняка подразумевали что-то типа такого:

$\[{\left( {2t - 1} \right)^{ - 2/3}} = \frac{1} {{\sqrt[3]{{{{\left( {2t - 1} \right)}^2}}}}} = \frac{1} {{\sqrt[3]{{{{\left( {1 - 2t} \right)}^2}}}}} = {\left( {1 - 2t} \right)^{ - 2/3}}\]$

[integral2009]

Ааа) Точно, теперь ясно!! Спасибо!

[integral2009]

Прикол)

[ShMaxG]

integral2009
Ну почему прикол? Все верно. Просто препод считает, что $\[{\left( {2x + 3} \right)^{ - \frac{2} {3}}} = \frac{1} {{\sqrt[3]{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}}}\] $. Ну и ради Бога

[Gortaur]

Где же все верно. Он минус влепил.

[ShMaxG]

Я имел ввиду, что преподаватель в принципе верно все оценил, минус поставил.

[integral2009]

Хорошо, спасибо) Вот, сделал в лоб)

$$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} (\prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k) x^n$$

$x=-2t$ $\alpha=-2/3$

$$(1+[-2t])^{-2/3}=\sum^{\infin}_{n=0} (\prod_{k=1}^n \frac{-2/3-k+1}k) (-2t)^n=\sum^{\infin}_{n=0} (\prod_{k=1}^n\frac{1-3k}{3k}) (-2)^nt^n=\sum^{\infin}_{n=0}(-2)^n (\prod_{k=1}^n\frac{1-3k}{3k}) (x+2)^n$$

Разложение справедливо на всей вещественной оси! Похоже на правду?)

[ShMaxG]

integral2009 в сообщении #406111 писал(а):

Разложение справедливо на всей вещественной оси!

Да ну Бог с Вами! Вы что

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} (\prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k) x^n$ - разложение только на $\[ - 1 < x < 1\] $ (признак Даламбера для абс. сходимости ряда).

Ну и надо еще корректно определить $\[\prod\limits_{k = 1}^n {...} \]$ при $n=0$. И будет все ОК, как я понимаю.

[integral2009]

ShMaxG в сообщении #406115 писал(а):

Ну и надо еще корректно определить $\[\prod\limits_{k = 1}^n {...} \]$ при $n=0$. И будет все ОК, как я понимаю.

ТОчно) я погорячился насчет всей оси)

а при $n=0$ произведение должно равняться $1$!
Можно ли так записать?)

$(1+x)^\alpha = 1+\sum^{\infin}_{n=1} (\prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k) x^n$ - разложение только на $\[ - 1 < x < 1\] $

[ShMaxG]

integral2009 в сообщении #406119 писал(а):

Можно ли так записать?)

Я бы так и писал.

[integral2009]

Спасибо, ShMaxG, все понятно!

[ShMaxG]

Да, и еще. Надо в ответе будет писать интервал сходимости получившегося ряда. Там стоит икс, но это не тот икс, для которого $-1<x<1$. А чуть по-другому, но я надеюсь Вы меня понимаете.

[integral2009]

ShMaxG в сообщении #406130 писал(а):

Да, и еще. Надо в ответе будет писать интервал сходимости получившегося ряда. Там стоит икс, но это не тот икс, для которого $-1<x<1$. А чуть по-другому, но я надеюсь Вы меня понимаете.

Да, понимаю, у меня так получилось

$$-1<-2t<1$$

$$-0.5<t<0.5$$

$$-0.5<x+2<0.5$$

$$-2.5<x<-1.5$$

[Tlalok]

Мне кажется знаки неравенств необходимо развернуть.

[integral2009]

Tlalok в сообщении #406135 писал(а):

Мне кажется знаки неравенств необходимо развернуть.

Ведь $-2.5<-1.5$ Как тут развернуть?)