Ряд тейлора в окрестности 1

[integral2009]

Нужно разложить функцию $f(x)=(2x+3)^{-3/2}$ в ряд Тейлора в окрестности $x_0=-2$ с использованием стандартных разложений Маклорена.

Я сделал замену $x+2=t$ => $x=t-2$
Теперь нужно разложить в окрестности $t=0$

$(2x+3)^{-3/2}=(2[t-2]+3)^{-3/2}=(2t-1)^{-3/2}$

А как дальше быть?!

Если пользоваться этой формулой $(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n$, для всех $\left| x \right| < 1$ то там $+1$ а у нас $-1$

[ShMaxG]

integral2009
У Вас функция в этой окрестности не определена.

[gris]

А у Вас функция не определена в окрестности этой точки. Проверьте условие.

[integral2009]

ShMaxG в сообщении #403123 писал(а):

integral2009
У Вас функция в этой окрестности не определена.

Спасибо! А разве $(-1)^{-2/3}=\dfrac{1}{(-1)^{2/3}}=\dfrac{1}{(-1)^2}=1$ неверно?

-- Сб янв 22, 2011 18:41:19 --

А, точно) Эти правила определены только для положительнх чисел) Опс, я еще дробь в степени перевернул)

[gris]

Даже если определить для рациональных, у Вас там 3/2, а не 2/3.
Да чтожтакое

[ShMaxG]

integral2009
Ну вообще-то у Вас там степень $3/2$. Но это дела не меняет, ибо функция $a^{x}$ определена только для положительных $a$. Просто иначе не понятно, что такое, например, $(-\pi)^{\pi}$.
И вообще, полезно не путать, например, кубический корень и степень $1/3$. Знайте, что $\[\sqrt[3]{x} \ne {x^{1/3}}\] $ для всех иксов, ибо функция слева определена для всех иксов, а справа -- только для положительных. Если ставите равенство для всех иксов, то вот противоречие: $\[ - 1 = \sqrt[3]{{ - 1}} = {\left( { - 1} \right)^{1/3}} = {\left( { - 1} \right)^{2/6}} = \sqrt[6]{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}} = 1\]$.

[integral2009]

gris в сообщении #403124 писал(а):

А у Вас функция не определена в окрестности этой точки. Проверьте условие.

Точно, вы правы! Условие такое
Нужно разложить функцию $f(x)=(2x+3)^{-2/3}$ в ряд Тейлора в окрестности $x_0=-2$ с использованием стандартных разложений Маклорена.
А как тут быть?!

замена $x+2=t$ => $x=t-2$
Теперь нужно разложить в окрестности $t=0$

$(2x+3)^{-2/3}=(2[t-2]+3)^{-2/3}=(2t-1)^{-2/3}$

Как дальше?

[gris]

А перевернуть по горизонтали выражение в скобках, хотя соображения неопределённости остаются. Успею???

[ShMaxG]

integral2009 в сообщении #403131 писал(а):

Нужно разложить функцию $f(x)=(2x+3)^{-2/3}$ в ряд Тейлора в окрестности $x_0=-2$ с использованием стандартных разложений Маклорена.

Снова ерунда. Может надо разложить функцию $\[\frac{1} {{\sqrt[3]{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}}}\]$ в окрестности $-2$?

[integral2009]

ShMaxG в сообщении #403129 писал(а):

integral2009 вот противоречие: $\[ - 1 = \sqrt[3]{{ - 1}} = {\left( { - 1} \right)^{1/3}} = {\left( { - 1} \right)^{2/6}} = \sqrt[6]{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}} = 1\]$.

Точно, кстати! Интересное наблюдение! Спасибо! Такое точно запомню)

-- Сб янв 22, 2011 19:08:17 --

ShMaxG в сообщении #403136 писал(а):

Может надо разложить функцию $\[\frac{1} {{\sqrt[3]{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}}}\]$ в окрестности $-2$?

Нет, именно степень $-2/3$ написано в условии) Авторы действительно напутали, не только я)

А если условие, как вы написали - то функция определена в $x=-2$, то как разложить в ряд тейлора, в окрестности $x=-2$, используя разложения Маклорена!

-- Сб янв 22, 2011 19:09:54 --

gris в сообщении #403132 писал(а):

А перевернуть по горизонтали выражение в скобках, хотя соображения неопределённости остаются. Успею???

Не понял вопрос!

[ShMaxG]

(Ранее тут был бред).

[gris]

А нельзя разве воспользоваться готовым разложением функции $y=(1+x)^a=1+ax+...$ и подставить туда $x=-2t$ и $a=-2/3$?

[ShMaxG]

gris
Я думаю можно, воспользовавшись естественным предположением, что $\[{\left( {2t - 1} \right)^{ - 2/3}} = {\left( {1 - 2t} \right)^{ - 2/3}}\]$.

[integral2009]

gris в сообщении #403152 писал(а):

А нельзя разве воспользоваться готовым разложением функции $y=(1+x)^a=1+ax+...$ и подставить туда $x=-2t$ и $a=-2/3$?

Спасибо, но я не до конца понял как это осуществить!!!

-- Сб янв 22, 2011 20:15:24 --

ShMaxG в сообщении #403157 писал(а):

gris
Я думаю можно, воспользовавшись естественным предположением, что $\[{\left( {2t - 1} \right)^{ - 2/3}} = {\left( {1 - 2t} \right)^{ - 2/3}}\]$.

А если мы пишем $\[{\left( {2t - 1} \right)^{ - 2/3}}$ , то ведь подразумевается, что $2t-1>0$

Тогда $1-2t<0$ и выражение {\left( {1 - 2t} \right)^{ - 2/3}}\ не определено! Или я опять что-то напутал?!

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #403127 писал(а):

Да чтожтакое

ну да, опять на ходу подмётки рвуть