Предел разностей между корнями уравнения...

[resevus]

Найти $\lim_{n \to \infty} (x_{n+1}-x_n)$, где $x_1,\ldots, x_n,\ldots$ - последовательные положительные корни уравнения $\tg(x)=x^{2008}$

[Хорхе]

Предположений нет, чему предел равен?

Если нет, попробуйте нарисовать эскиз графиков.

[resevus]

Есть подозрение, что 2\pi

[ИСН]

Период тангенса сколько?

[resevus]

Ой, в предыдущем не правильно почему-то на $(-\pi;\pi)$, а не на $(-\pi/2;\pi/2)$ повторяющуюся часть строил, поэтому и вышел в два раза больше ответ
Таки $\pi$.
А как строго доказать?

[ewert]

resevus в сообщении #406131 писал(а):

А как строго доказать?

Фактически надо доказать, что на каждом достаточно далёком периоде только одна точка пересечения. Для этого достаточно убедиться в том, что в таких точках производная тангенса всегда больше производной степени. Ну так если перейти к обратным функциям, то очевидно, что на бесконечности производная корня много больше производной арктангенса.

[Хорхе]

ewert в сообщении #406152 писал(а):

resevus в сообщении #406131 писал(а):

А как строго доказать?

Фактически надо доказать, что на каждом достаточно далёком периоде только одна точка пересечения.

Этого мало, надо еще, чтобы эта точка была близко к правому концу периода. Ну она, понятно, будет.

[ewert]

Хорхе в сообщении #406164 писал(а):

Этого мало, надо еще, чтобы эта точка была близко к правому концу периода.

Ну это-то вполне очевидно. Не совсем тривиальна именно единственность этой точки.