Дифференцирование наполовину

[arseniiv]

Как мне самому (в каком направлении копать) найти оператор $X$, который удовлетворяет условию $XX = D \equiv \frac d{dx}$? Вроде бы он, правда, определён не на всех функциях, на которых определён $D$, ну да хотя бы на аналитических ведь должен?

Под «найти оператор» понимаю нахождение какого-то выражения через интеграл или $D$, или что-нибудь, для чего понятно, в какую функцию какая переводится. А то только очевидные частные случаи есть:

$X(\alpha f \pm \beta g) = \alpha Xf \pm \beta Xg$
$X\sin x = \sin (x - \frac{\pi}4)$
$Xe^x = e^x$

[ИСН]

Там, кажется, надо начинать с интегралов дробного порядка. А чтобы их задать естественным образом, сначала посмотрите пристально на интеграл второго порядка. Можно ли его свести к однократному?

[arseniiv]

ИСН в сообщении #406029 писал(а):

А чтобы их задать естественным образом, сначала посмотрите пристально на интеграл второго порядка. Можно ли его свести к однократному?

Не придумывается способ. Интегрировать по какой-то кривой типа кривой Пеано, вложенной в данную область?

[ИСН]

-- Пт, 2011-01-28, 23:26 --

Нет, глядеть на интегральные суммы.

-- Пт, 2011-01-28, 23:30 --

$$\begin{tabular}{l|cccc} \text{Вот функция:} & a_1 & a_2 & a_3 & ... \\ \text{Вот интеграл:} & a_1 & a_1+a_2 & a_1+a_2+a_3 & ... \\ \text{Вот дважды интеграл:} & a_1 & 2a_1+a_2 & 3a_1+2a_2+a_3 & ... \end{tabular}$$

Rings a bell?

[arseniiv]

Упс. Я спутал его с двойным по двумерной области.

ИСН в сообщении #406042 писал(а):

Rings a bell?

Не, не звонит. Что такое $a_i$? Не понимаю, как свести.

[ИСН]

Какая разница. Ну, пусть это значения функции в точках 1, 2 и 3. (Потом как-нибудь перейдём от сумм к интегралам.)
Медитируйте, не хочу прямо говорить.

[arseniiv]

$$\sum\limits_{i = 0}^k {\sum\limits_{j = 0}^i {a_j}} = \sum\limits_{i = 0}^k {(k - i) a_i} = k\sum\limits_{i = 0}^k {a_i} - \sum\limits_{i = 0}^k {i a_i} = \, ?$$

Ладно, первая правая сумма может как-то предельно перейти. А вторая?

[Cave]

Ввести такое дифференцирование можно не одним способом. Также это делается вместе с интегрированием дробного порядка, сразу определяя оператор порядка $q\in\mathbb{R}$. См., например, википедию.

[ewert]

arseniiv в сообщении #406025 писал(а):

Как мне самому (в каком направлении копать) найти оператор $X$, который удовлетворяет условию $XX = D \equiv \frac d{dx}$? Вроде бы он, правда, определён не на всех функциях, на которых определён $D$, ну да хотя бы на аналитических ведь должен?

Самый естественный способ -- извлечь корень из самосопряжённого оператора $\frac1i\frac{d}{dx}$ (сводится к преобразованию Фурье, умножению результата на корень и обратному преобразованию Фурье). Он, конечно, определяется неоднозначно, и сильно неоднозначно, но естественных варианта там всё-таки только два (если не учитывать произвольность общего знака, а так четыре).

[В.О.]

Если определять через преобразование Фурье, то полученное может не оказаться корнем квадратным из производной. В википедии утверждается
In general, composition (or semigroup) rule
is not satisfied. See Property 2.4 (page 75) in the book A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations.

Лучше определить локально через дифференцирование ряда Тейлора. К-й член ряда умножаем на корень из К и х возводим в степень к - 1/2. Тогда при повторном применении получится первая производная.

[ewert]

В.О. в сообщении #406262 писал(а):

Если определять через преобразование Фурье, то полученное может не оказаться корнем квадратным из производной.

Как может?... $\frac{1}{i}\frac{d}{dx}=\Phi^{-1}A\Phi$, где $\Phi$ -- это преобразование Фурье и $v=Au\ \Leftrightarrow\ v(p)=p\cdot u(p)$. И если теперь $v=Bu\ \Leftrightarrow\ v(p)=\sqrt p\cdot u(p)$, то $B^2=\frac{1}{i}\frac{d}{dx}$. Другое дело, что не менее корень выйдет, если взять $v=Bu\ \Leftrightarrow\ v(p)=(2\chi(p)-1)\sqrt p\cdot u(p)$, где $\chi(p)$ -- характеристическая функция любого множества.

В.О. в сообщении #406262 писал(а):

К-й член ряда умножаем на корень из К и х возводим в степень к - 1/2. Тогда при повторном применении

Что значит при повторном? После первого применения получится функция другого класса (не говоря уж о том, что непонятно, к какому вообще классу функций Вы собираетесь этот оператор применять).

[В.О.]

Вроде, Вы все правильно пишите. Тогда непонятно о чем говорится в википедии.
А я говорю об аналитических функциях. Дробное дифференцирование за пределы этого класса не выводит. Хотя это, наверное, слишком сильное требование.
И, всетаки, дифференцирование это локальная операция. А для существования преобразования Фурье нужны глобальные свойства функции на всей прямой. Интегрируемость и т.п. А определение через ряд Тейлора требует именно локальных свойств функции.
Хотя, если пользоваться характеристической функцией окрестности точки, как это делаете Вы, то можно вернуться к локальности. Тогда нужно искать предел дробной производной при стремлении окрестности к интересующей точке.
Наверное, все это где-то сделано. И, скорее всего, определение через преобразование Фурье по бесконечно малой окрестности точки эквивалентно определению через ряд Тейлора. На классе аналитических функций, во всяком случае.

[ewert]

В.О. в сообщении #406281 писал(а):

А я говорю об аналитических функциях.

Какого класса?... Разложение в ряд Тейлора подразумевает аналитичность в нуле, а после деления на корень она теряется.

[В.О.]

ewert в сообщении #406288 писал(а):

после деления на корень она теряется

После умножения на корень. Не теряется.
Аналитичность в точке эквивалентна очень быстрому стремлению коэффициентов Тейлора к нулю. Не помню какому именно, но гораздо быстрее экспоненциального. Умножение на корень этой скорости не испортит.

[ewert]

В.О. в сообщении #406290 писал(а):

Не помню какому именно, но гораздо быстрее экспоненциального.

Гораздо медленнее, но не в этом проблема. А в том, что после деления на корень это уже не будет ряд Тейлора в окрестности нуля.