Одно свойство (евклидовой) метрики

[Portnov]

Вот такая задачка всплыла. Выглядит простой, и, я думаю, решается как-то просто, но что-то я туплю.

Пусть для $A,B,C \in \mathbb{R}^2$ выполняется $\rho(A,C) = \rho(A,B) + \rho(B,C)$ ($\rho$ — евклидова метрика на плоскости). Доказать, что тогда B лежит на прямой AC (точнее, даже на отрезке AC), т.е. существует $t \in \mathbb{R}$ такое, что $B = tA+(1-t)C$. Если сразу получится, что $t\in[0;1]$ — хорошо, но мне этот факт не особо интересен. При этом хочется использовать как можно меньше «специфических» свойств пространства $\mathbb{R}^2$, желательно — только структуру линейного пространства и метрику, т.к. мне интересна возможность обобщения этой «теоремы» на другие пространства, хотя бы на $\mathbb{R}^n$ при $n>2$. А вообще, мне кажется, эта «теорема» должна выполняться в любом нормированном пространстве, а то и в каком-нибудь более широком классе метрических пространств с линейной структурой.

[Gortaur]

Давайте сразу в общем.
Достаточность по-моему будет из свойств нормы, а необходимость - что-нибудь типа единстенности решения (или единственность точки касания двух окружностей - я имею ввиду, конечно уравнений $||x-a|| = const$). Может и сложно слишком - посмотрим что еще предложат.

[Portnov]

Из того, что B лежит на отрезке AC, следует равенство про расстояния. Это проверяется легко в любом нормированном пространстве. А вот обратное...

[Padawan]

Обратное неверно. Возьмите на плоскости норму $\|(x,y)\|=\max \{|x|,|y|\}$

[Portnov]

Хорошо, значит не в любом нормированном пространстве, а только в некоторых. А в каких именно? И как это доказать? :)

[Gortaur]

Я как раз про обратное. Пусть $B\in\{x| ||x-A|| = ||A-C|| - ||x-C||\}$ - тогда $x$ это точка минимума выражения
$||x-A||+||x-C||$. То есть это задача на единственность минимума (думаю, кстати, эквивалентная). Похоже, что подходит лишь для гладких норм чтобы точка касания была одна как я уже писал.

[Padawan]

Строго_нормированное_пространство
синоним -- строго выпуклое пространство http://en.wikipedia.org/wiki/Strictly_convex_space

[Portnov]

О, уже что-то, спасибо. Только вот исходно мне были интересны метрические пространства. Существуют ли метрические пространства со свойством из первого поста, не являющиеся строго нормированными пространствами (или вобще не являющиеся нормируемыми)? Подозреваю, что это должно упоминаться в справочнике Крейна, на который ссылается википедия, но его у меня сейчас под рукой нет :/

[paha]

Gortaur в сообщении #398723 писал(а):

Похоже, что подходит лишь для гладких норм чтобы точка касания была одна как я уже писал.

неправда... возьмите норму на плоскости $|(x,y)|=(|x|^p+|y|^p)^{1/p}$ при $p>2$ -- она строго выпукла

[Gortaur]

Ну так там вроде и будет линия уровня гладкая.

[paha]

Gortaur в сообщении #405225 писал(а):

Ну так там вроде и будет линия уровня гладкая.

но там неверна импликация $\rho(A,C) = \rho(A,B) + \rho(B,C)\Rightarrow B = tA+(1-t)C$

то, о чем говорил Padawan

[Gortaur]

Да? плохо, проверять лень (и неинтересно), но ошибку признаю. Хотя ошибки нет - я же не писал, что для всех гладких подходит

[Munin]

paha в сообщении #405234 писал(а):

но там неверна импликация $\rho(A,C) = \rho(A,B) + \rho(B,C)\Rightarrow B = tA+(1-t)C$

Разве? Вроде бы, $\Leftarrow$ верно, и такая точка $B$ единственна.

[paha]

Munin в сообщении #405458 писал(а):

Разве?

Вы правы, я соврал

Gortaur в сообщении #405256 писал(а):

Да? плохо, проверять лень (и неинтересно), но ошибку признаю

ошибки не было -- это я ошибся

[Munin]

Хотя легко можно представить себе норму, для которой не будет $\lVert kx\rVert=k\lVert x\rVert,$ и для неё уже "равенство треугольника" не будет подразумевать расположения на прямой. Просто это не $L_p.$