Одно свойство (евклидовой) метрики

[Gortaur]

Munin
Я думал, так определяется норма.

[paha]

Munin в сообщении #405560 писал(а):

Хотя легко можно представить себе норму, для которой не будет $\lVert kx\rVert=k\lVert x\rVert,$

я согласен с Gortaur
норма все-таки по определению обладает свойством $\lVert kx\rVert=|k|\cdot\lVert x\rVert$

[JMH]

Либо я чего-то не понимаю, либо условие задачи явно говорит о Евклидовой, т.е. квадратичной, а не произвольной метрике...

[Gortaur]

JMH
см. последнее предложение топика. ТС указывает на то, что хочет также проверить, выполняется ли данное свойство в произвольном нормированном пространстве или линейном пространстве с метрикой.paha
Возможно, Munin имел ввиду метрику в линейном пространстве как функцию от разности векторов, обладающую всеми свойствами нормы кроме линейности. Но даже тогда, насколько мне не изменяет память это просто метрика и не более - норму от метрики в линейном пространстве по-моему отделяет лишь линейность.

[ewert]

Только это называется не линейностью, а однородностью.

Особого смысла рассматривать метрики вообще нет. Доказываемое утверждение в точности означает строгую выпуклость нормы. Т.е. фактически требовалось доказать, что любая евклидова (или гильбертова) норма -- строгая. Это следует из неравенства Коши-Буняковского; точнее, из того, что оно превращается в равенство лишь в коллинеарном случае.

Munin в сообщении #405560 писал(а):

Хотя легко можно представить себе норму, для которой не будет $\lVert kx\rVert=k\lVert x\rVert,$ и для неё уже "равенство треугольника" не будет подразумевать расположения на прямой. Просто это не $L_p.$

Почему же, $L_p$ -- это ведь в т.ч. и $L_1$.

[Portnov]

Со строго выпуклыми нормами всё понятно, вобщем, буду смотреть литературу вокруг этого термина. Теперь (как расширение вопроса) интересны именно метрики вообще, не порождённые нормами.

[Gortaur]

Да, однородность - вчера просто из головы вылетело.

[Munin]

paha в сообщении #405575 писал(а):

норма все-таки по определению обладает свойством $\lVert kx\rVert=|k|\cdot\lVert x\rVert$

А в таком случае, для любых $\rho(A,C) = \rho(A,B) + \rho(B,C)$ будет существовать решение (точка $B$) $B = tA+(1-t)C.$ Вопросто только в том, единственное ли. И этот вопрос, вроде бы, решается условием строгой нормированности или строгой выпуклости.

Честно говоря, я забыл об этом свойстве, и думал о некоторой функции, задаваемой только неравенством треугольника и занулением в нуле. В этом случае индуцированная этой функцией метрика позволяла бы иметь единственное решение не на отрезке. Не нашёл, имеет ли такая функция специальное название, и рассматривается ли.

[paha]

Munin в сообщении #405760 писал(а):

думал о некоторой функции, задаваемой только неравенством треугольника и занулением в нуле

Субаддитивными называются функции, удовлетворяющие
соотношению $f(x+y)\le f(x)+f(y)$.

Для положительной субаддитивной функции существует конечный предел
$F(x)=\lim\frac{f(nx)}{n}$, причем $F(rx)=rF(x)$ для любого положительного $r\in\mathbb{Q}$. Если $f$ была непрерывной, то $F$ -- (полу)норма (возможно, несимметричная: $F(x)\ne F(-x)$)

[Munin]

Понятно. Нет, предел не нужен...