Теория вероятностей, Функции случайных величин

[QuasiRus]

Помогите,пожалуйста,разобраться с плотностью распределения функции случайной величины.Задача такая:
Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами m=-0.8 и σ=2.7. Найти плотность распределения случайной величины Y = f(X),
$f(x)=0$ при $x<0$,
$f(x)=\sqrt{x}$ при $0\leqslant x \leqslant1$,
$f(x)=1$ при $x>1$,

Насколько я понимаю,имеет смысл рассматривать функцию на отрезке [0,1],пользуюсь я следующей формулой:
$p_Y(x)=p_X([f(x)]^{-1})| \frac{d}{dx}([f(x)]^{-1})| $
Получаю:
$p_Y(x)=p_X(x^2)* |2x | =\frac2{\sqrt{2\pi \sigma^2}} |x| e^{- \frac{(4x^2+0.8)^2}{2 \sigma ^2} } =\sqrt{\frac2{\pi* 2.7^2}} |x| e^{- \frac{(4x^2+0.8)^2}{2 *2.7 ^2} } = \sqrt{\frac{0.274}{\pi}} |x| e^{- \frac{(4x^2+0.8)^2}{14.58} } $

Но проблема в том,что для этой функции не выполняется условие нормировки (проверялось в Mathcad):

$$\int_0^1 \sqrt{\frac{0.274}{\pi}} |x| e^{- \frac{(4x^2+0.8)^2}{14.58} } dx= 0.086$$

Прошу подсказать,в чем может быть ошибка - должны ли быть иные пределы интегрирования или ошибка в чем-либо другом.Буду крайне признателен за любые замечания!

[--mS--]

QuasiRus в сообщении #402041 писал(а):

Помогите,пожалуйста,разобраться с плотностью распределения функции случайной величины.Задача такая:
Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами m=-0.8 и σ=2.7. Найти плотность распределения случайной величины Y = f(X),
$f(x)=0$ при $x<0$,
$f(x)=\sqrt{x}$ при $0\leqslant x \leqslant1$,
$f(x)=1$ при $x>1$,

Вот прямо так и написано "найти плотность"? Величина $Y$ принимает с очень положительными вероятностями значения 0 и 1. Например, $\mathsf P(Y=0) = \mathsf P(X < 0)=\Phi_{0,1}(0,8/2,7)\approx 0,616498093$. Поэтому распределение величины $Y$ не является абсолюьно непрерывным (и просто непрерывным), у неё нет плотности распределения.

[ИСН]

Или, если угодно, есть, но в смысле обобщённых функций.

[QuasiRus]

--mS-- в сообщении #402122 писал(а):

Вот прямо так и написано "найти плотность"?

Да,именно так и написано.
Но ведь функция $f(x)$ монотонна,это не дает существования плотности для $f(X)$? И, к сожалению,не совсем понял, как обосновать отсутствие непрерывности в распределении $Y$,можно поподробнее?

[Gortaur]

Можно, если бы была плотность, то $P[f(X) = x] = 0$ всегда, но $P[f(X) = 1]>0$ - значит нет плотности, потому что в этой точке будет сингулярность (дельта-функцию знаете?)

[Viktor_2]

QuasiRus в сообщении #402185 писал(а):

--mS-- в сообщении #402122 писал(а):

Вот прямо так и написано "найти плотность"?

Да,именно так и написано.
Но ведь функция $f(x)$ монотонна,это не дает существования плотности для $f(X)$? И, к сожалению,не совсем понял, как обосновать отсутствие непрерывности в распределении $Y$,можно поподробнее?

Не поручусь за отсутствие плотности, а такие задачки решаются обычно согласно теореме 24 со страницы (первоисточник мне неизвестен): http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node32.html

Нужно внимательно выполнить все шаги трансформации

[Gortaur]

Если Вы не заметили, ТС пользовался именно этой формулой. Там видимо нужно строгая монотонность - иначе прообраз единички хм... доставляет.

[QuasiRus]

Viktor_2
Если Вы заметили,я именно так и пытаюсь решать эту задачу.
Gortaur
То есть рассматривать $f(x)$ только на отрезке [0;1] мы не имеем права? Дело в том,что для этого задания есть много вариантов,и везде $f(x)$ задается вне этого отрезка подобным образом.Получается,что при таких параметрах нигде не будет плотности распределения для $Y$?

[Viktor_2]

Gortaur в сообщении #402193 писал(а):

Если Вы не заметили, ТС пользовался именно этой формулой. Там видимо нужно строгая монотонность - иначе прообраз единички хм... доставляет.

Если Вы на 100% уверены в правильности выкладок автора темы, то простите меня, дурака.

-- Чт янв 20, 2011 14:59:42 --

Я считаю, что ошибка в трансформации

[ewert]

Viktor_2 в сообщении #402190 писал(а):

такие задачки решаются обычно согласно теореме 24

Там не вполне удачная терминология: под словом "монотонная" следует понимать "строго монотонная" (и, кстати, добавить требование абсолютной непрерывности тоже не помешало бы). А тут монотонность нестрогая, почему и распределение не будет чисто непрерывным.

[Gortaur]

плотность существует на интервале $x\in (0,1)$ - при этом очевидно что ее интеграл будет меньше 1, потому что вероятность также будет сконцетрирована в самих точках 0 и 1. На отрезке рассмотреть Вы имеет право, потому как все равно кроме отрезка других значений не будет. Может Вам все-таки можно дельта-функцией пользоваться?

2 Victor_2 - я 100% уверен, что формула из теоремы 24 совпадает с формулой, которую написал ТС в первом сообщении. От того, что он второй раз ее увидит корректность его выкладок не поменяется.

2 ewert - что ТС-то делать? У меня варинат либо через дельту, либо написать что плотность на (0,1) такая-то, а в 0 и 1 такие-то вероятности - по сути самое простое что множно предложить.

[Viktor_2]

ewert в сообщении #402202 писал(а):

Viktor_2 в сообщении #402190 писал(а):

такие задачки решаются обычно согласно теореме 24

Там не вполне удачная терминология: под словом "монотонная" следует понимать "строго монотонная" (и, кстати, добавить требование абсолютной непрерывности тоже не помешало бы). А тут монотонность нестрогая, почему и распределение не будет чисто непрерывным.

Сути это не меняет, я считаю, что, возможно, произошла ошибка при трансформации, потому и глюки пошли, или нет?

[ewert]

QuasiRus в сообщении #402194 писал(а):

Получается,что при таких параметрах нигде не будет плотности распределения

Будет, но только если исходная плотность равна нулю на участках постоянства функции. Т.е. если исходное распределения нормальна -- то не будет.

[QuasiRus]

Viktor_2 в сообщении #402197 писал(а):

Я считаю, что ошибка в трансформации

В показателе экспоненты,каюсь,четверка-таки лишняя,но принципиально результата это не меняет,вот в чем дело.

Gortaur в сообщении #402206 писал(а):

Может Вам все-таки можно дельта-функцией пользоваться?

Не уверен в этом,честно говоря

[Viktor_2]

QuasiRus
Поэтому в следующий раз, перед тем как хамить, пересчитайте всё внимательно еще раз.