линейные операторы

[koky]

Вот что-то эти, наверняка очевидные факты, показались вдруг неочевидными, направьте , пожалуйста, хотя бы ход моих мыслей, а то что-то совсем запутался уже. Вот они:
1) $Sp(B-{\lambda}I)={{}0} =>SpB={\lambda} $, где B сужение A на $U=Ker(A-{\lambda}I)^h$, h такое что, $Ker(A-{\lambda}I)^h=Ker(A-{\lambda}I)^{h+1}=V({\lambda})$, т.е. короче $U=V(\lambda)$
2)$\prod_{{\lambda^{'}} \ne {\lambda}}(A-{\lambda^{'}}I)^{m({\lambda^{'}})}$ действует на $V(\lambda)$ невырожденно, где $m({\lambda^{'}}) \le{h^{'}} $, h' - то же что и в пункте 1.

[Bars]

2) Пусть $ 0 \ne v \in V(\lambda) $ и пусть $ v(A - \lambda' I )^{m(\lambda')}=0 $.
Многочлены $ (x-\lambda')^{m(\lambda')} $ и $ (x-\lambda)^{m(\lambda)} $ взаимно просты.
Следовательно, $ \exists \: a(x), b(x) : (x-\lambda')^{m(\lambda')}a(x)+(x-\lambda)^{m(\lambda)}b(x)=1 $.
$ (A-\lambda'I)^{m(\lambda')}a(A)+(A-\lambda)^{m(\lambda)}b(A)=I $
$ v(A-\lambda'I)^{m(\lambda')}a(A)+v(A-\lambda)^{m(\lambda)}b(A)=vI. $
$ 0 \cdot a(A)+0 \cdot b(A)=v $ Противоречие, т. к. $ v \ne 0 $

P.S. А что такое $ Sp $ ?

[ewert]

$Sp$, раз уж это число -- скорее всего, шпур, т.е. Spur, т.е. Trace, т.е. $Tr$, т.е. след, поэтому самое первое утверждение очевидно неверно. Смысла остальных буковок я не понимаю, какой-то птичий язык. Можно, конечно, догадаться, что $V(\lambda)$ -- это корневое подпространство и $h$ -- его высота (хотя толком это и не сформулировано); но зачем гадать?...

[SakumaRei]

Sp - это спектр. Тем странно, как автор это обозначает.

[ewert]

SakumaRei в сообщении #397984 писал(а):

Sp - это спектр. Тем странно, как автор это обозначает.

Во-первых, спектр -- это вообще-то $\sigma$. Или как иначе, но уж никак не $Sp$, поскольку последнее вполне традиционно (хоть и не общепринято) употребляют именно для следа.

Во-вторых, если это спектр, то $\{\lambda\}$, но уж никак не $\lambda$.

В-третьих, первое утверждение действительно очевидно, поскольку $B-\lambda I$ по определению нильпотентен, а у нильпотентного оператора ненулевых собственных чисел быть, очевидно, не может.

[koky]

SpB={$\lambda$}
- это спектр, оператора В;(обозначение из методички Чуркина В.А.)
V($\lambda$) - корневое подпространство;
h-максимальная высота корневого вектора, из этого подпространства;

ewert в [url=http://dxdy.ru/post397996.html#p397996]сообщении
#397996[/url] писал(а):

В-третьих, первое утверждение действительно очевидно,
поскольку $B-\lambda I$ по определению нильпотентен, а у
нильпотентного оператора ненулевых собственных чисел быть, очевидно, не
может.

А причём тут это? Надо как-то доказать, что SpB={$\lambda$}, где B - сужение оператора A на корневом подпространстве V($\lambda$). Причём это используеться в доказательстве теоремы о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств, так что это использовать нельзя.
Что касаеться второго, ну почему сразу

Bars в сообщении #397954 писал(а):

пусть $ v(A - \lambda' I )^{m(\lambda')}=0 $.

После воздействия нескольких операторов может быть вектор уже не будет в V($\lambda$), и потом только произойдёт обнуление. Но даже если пропустить это, то нет гарантии, что тут

Bars в сообщении #397954 писал(а):

$ v(A-\lambda'I)^{m(\lambda')}a(A)+v(A-\lambda)^{m(\lambda)}b(A)=vI. $

вектор будет достаточно малой высоты, чтобы обнулитья во втором слагаемом.

[ewert]

koky в сообщении #399862 писал(а):

А причём тут это? Надо как-то доказать, что SpB={$\lambda$}, где B - сужение оператора A на корневом подпространстве V($\lambda$). Причём это используеться в доказательстве теоремы о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств, так что это использовать нельзя.

Во-первых, я перестал понимать, что, собственно, в этом пункте спрашивается (какое следствие из чего предлагается пояснить): тот факт, что $\mathop{\mathrm{Sp}}B=\{\lambda\}\ \Leftrightarrow\ \mathop{\mathrm{Sp}}(B-\lambda I)=\{0\}$ -- тривиален в любом понимании. Во-вторых, то, что спектр нильпотентного оператора состоит только из нуля -- вполне очевидно следует из определения нильпотентности. В-третьих, сужение оператора $(A-\lambda I)$ на соответствующее корневое подпространство нильпотентно просто по определению корневого подпространства. В-четвёртых, разложение в прямую сумму здесь не при чём: оно для всех этих утверждений не нужно, а с другой стороны, до него ещё пока действительно далеко.

[Bars]

Корневые подпространства инвариантны относительно $ A $, а поэтому и относительно $ (A - \mu E)^n $.
Дальше, используется теорема о разложении общего наибольшего делителя. Она выполняется в любых евклидовых кольцах, в том числе в кольце многочленов над любым кольцом, в том числе в кольце многочленов над кольцом линейных преобразований (мы тут их назвали операторами)

[ewert]

koky в сообщении #395727 писал(а):

2)$\prod_{{\lambda^{'}} \ne {\lambda}}(A-{\lambda^{'}}I)^{m({\lambda^{'}})}$ действует на $V(\lambda)$ невырожденно, где $m({\lambda^{'}}) \le{h^{'}} $, h' - то же что и в пункте 1.

Я просто не смог вчитаться в это утверждение -- как-то чересчур много букафф. Но в любом случае: всё, что стоит после слова "где" -- лишнее, предыдущее утверждение верно и без этого и независимо от этого. Вполне достаточно того, что для оператора $(A-\lambda I)$ (и, следовательно, для оператора $(A-\lambda'I)$ с вообще любым $\lambda'$) инвариантно ядро $\mathop{\mathrm{Ker}}(A-\lambda I)^k$ при любом $k>0$. И что оператор $(A-\lambda I)$ имеет на корневом подпространстве $V(\lambda)$ только нулевое собственное число. Это уже означает, что любой оператор $(A-\lambda'I)$ при $\lambda'\neq\lambda$ действует на $V(\lambda)$ невырожденно -- а значит, это относится и к любому произведению таких операторов. И никакая продвинутая теория тут не нужна.

[koky]

что-то совсем запутанно...для первого мне непонятно просто вот что:
пусть SpA={$\lambda_{1},...,\lambda_{n}$}, B - сужение A на V($\lambda_{i}$), тогда почему SpB={$\lambda_{i}$}? Причём без использования теоремы о разложеннии... опс.. вот например так, кажеться придумал:
предположим, что существует v из V nтакое что:($\lambda_{i}$) $(B-\lambda_{j}E)v=0$(т.е. что в спектре B есть другое $\lambda_{j}$), тогда одновременно для некоторого m: $(B-\lambda_{i}E)^mv=0$. Причём пусть m будет минимальным для выполнения последнего равенства. Тогда, $(B-\lambda_{i}E)^mv=(B-\lambda_{i}E)^{m-1}(Bv-\lambda_{i}Ev)=(B-\lambda_{i}E)^{m-1}(\lambda_{j}Ev-\lambda_{i}Ev)=(B-\lambda_{i}E)^{m-1}(\lambda_{j}-\lambda_{i})v\ne0$...ну кажеться это пойдёт.. это было просто очевидно?

[ewert]

koky в сообщении #401457 писал(а):

непонятно просто вот что:
пусть SpA={$\lambda_{1},...,\lambda_{n}$}, B - сужение A на V($\lambda_{i}$), тогда почему SpB={$\lambda_{i}$}?

Давайте начнём вот с чего. Что такое $V(\lambda)$ по определению? (И, кстати, поскольку мы говорим о некотором конкретном собственным числе -- удобнее считать его просто нулём.)

[koky]

V($\lambda$) - множество векторов v удовлетворяющих $(A-{\lambda}I)^mv=0$, где $\lambda$ собственное значение оператора, m-натуральное.

ewert в сообщении #401471 писал(а):

(И, кстати, поскольку мы говорим о некотором конкретном собственным числе -- удобнее считать его просто нулём.)

- этих "фишек" я ещё не понимаю.

[ewert]

koky в сообщении #401493 писал(а):

V($\lambda$) - множество векторов v удовлетворяющих $(A-{\lambda}I)^mv=0$, где $\lambda$ собственное значение оператора, m-натуральное.

Это не совсем правильная формулировка: у Вас получается, что $V(\lambda)$ зависит не только от $\lambda$, но и от $m$.

[koky]

m - любое натуральное, т.е. v удовлетворяющие таким уровнениям, где m-натуральное, не важно какое, ну ясно ж ведь

[ewert]

koky в сообщении #401518 писал(а):

ну ясно ж ведь

Нет, не ясно, слова нужно расставлять так, чтобы они имели точный смысл.

Впрочем, это не важно. Не хотите корневого подпространства -- пусть будет просто ядро оператора $(A-\lambda I)^m$, в данном случае суть дела от этого не меняется.

Итак, пусть $B$ есть сужение оператора $(A-\lambda I)^m$ на это подпространство. Что будет $m$-той степенью оператора $B$?...