линейные операторы

[koky]

да нет..я имел ввиду корневое подпространоство.. короче объёдинение ядер всевозможных операторов вида $(A-\lambda I)^m$, где m - натуральное.....а B - это сужение оператора A на этом объединении..впрочем с первым я уже разобрался..мне моё доказательство кажется верным...а вот со вторым ещё нет.

[ewert]

koky в сообщении #401529 писал(а):

с первым я уже разобрался..мне моё доказательство кажется верным...

Господи, да чего там разбираться и доказывать. Оператор $B^h$ на $V(\lambda)$ -- это нулевой оператор по определению $V(\lambda)$ и, следовательно, сам оператор $B$ не может иметь ненулевых собственных чисел.

koky в сообщении #401529 писал(а):

а вот со вторым ещё нет.

Потому что читать не хотите, а напрасно. Поскольку сужение $(A-\lambda I)$ на $V(\lambda)$ имеет только нулевое собственное число -- сужение любого другого $(A-\lambda' I)$ имеет только собственное число $\lambda-\lambda'\neq0$ и, следовательно, действует на $V(\lambda)$ невырожденно. Но тогда невырожденно будут действовать и любые произведения скобок такого рода.

[koky]

ewert в сообщении #401531 писал(а):

и, следовательно, действует на $V(\lambda)$ невырожденно.

- это то ясно,

ewert в сообщении #401531 писал(а):

Но тогда невырожденно будут действовать и любые произведения скобок такого рода.

- а вот это нет.
Почему корневое подпространство инвариантно относительно $A-\lambda^{'}I$?

[ewert]

koky в сообщении #401546 писал(а):

ewert в сообщении #401531 писал(а):

Но тогда невырожденно будут действовать и любые произведения скобок такого рода.

- а вот это нет.

Невырожденность оператора эквивалентна тому, что образ пространства есть всё пространство. В данном случае, поскольку речь о сужении оператора на инвариантное ему подпространство -- тому, что образ подпространства совпадает со всем подпространством. При повторных применениях этот факт никуда не исчезнет.

koky в сообщении #401546 писал(а):

Почему корневое подпространство инвариантно относительно $A-\lambda^{'}I$?

Потому, что инвариантность некоторого подпространства (не важно какого, корневого или нет, лишь бы инвариантного) для $A$ равносильна его инвариантности для вообще любого $(A-\mu I)$. Это доказывается тривиально и в лоб (особенно если учесть, что в силу симметрии утверждения достаточно доказать его только слева направо).