Числа по кругу

[Xenia1996]

Некто пишет 268 чисел по кругу так, что сумма любых 20 последовательных равна 75.
Числа 3, 4 и 9 находятся на позициях 17, 83 и 144 соответственно. Найти число на 210-ой позиции.

У меня вышло -1, а правильный ответ 7.

Все числа, дающие равные остатки при делении на 20 должны быть равны. Но 268 не дотягивает до полной 20-ки, а наибольший общий делитель 8 и 20 равен 4, следовательно, все числа, дающие равные остатки при делении на 4 должны быть равны.
Остаток 0 - 9
Остаток 1 - 3
Остаток 3 - 4

Значит, в каждой двадцатке будет 5 троек, 5 четвёрок и 5 девяток - всего 80, а чтобы получить 75, нужно добавить минус единичку, она как раз и займёт все позиции с остатком 2 при делении на 4 (в том числе и 210-ую позицию).

Но правильный ответ 7
Почему?

[ewert]

Правильно, минус единица, только слов многовато. Действительно, период изначально равен 20, но из-за того, что по кругу и что НОД(268,20)=4, он фактически равен 4. Поскольку в давдцатке укладывается пять четвёрок -- на каждую четвёрку приходится сумма 75:5=15. Поскольку все перечисленные четыре позиции по модулю 4 разные -- на последнюю из них остаётся 15-3-4-9=-1.

[Xenia1996]

ewert в сообщении #401205 писал(а):

Правильно, минус единица, только слов многовато. Действительно, период изначально равен 20, но из-за того, что по кругу и что НОД(268,20)=4, он фактически равен 4. Поскольку в давдцатке укладывается пять четвёрок -- на каждую четвёрку приходится сумма 75:5=15. Поскольку все перечисленные четыре позиции по модулю 4 разные -- на последнюю из них остаётся 15-3-4-9=-1.

Я ошиблась даже дважды , так как правильный ответ - не 7, а 4. Вот ссылка:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 34#p340339

[ewert]

Там ошибка -- зачем-то лишняя единица добавлена (автор, видать, нулевой позиции испугался, но испугался неудачно).