Гармонические функции

[BapuK]

Есть теорема: $f(z) = u + iv$ - дифференцируема в области $\Longleftrightarrow$ $u(x,y)$ и $v(x,y)$ гармонически сопряжены в этой же области.

Проблема с доказательством достаточности. Функции сопряжены, значит по определению выполняется условие Коши-Римана. Тогда для того чтобы $f$ была дифференцируемой достаточно, чтобы $u$ и $v$ были дифференцируемы в этой области. Непойму почему это так, ведь гармоничность функций $u$ и $v$ означает, что $\triangle u = \triangle v = 0$, где $\triangle$ - оператор Лапласса. Вопрос собственно в чем: из гармоничности функции следует ее дифференцируемость?

[Dan B-Yallay]

Из гармоничности $u, v$ лишь следует дифференцируемость обеих функций $u,v.$ Это не надо путать с дифференцируемостью $f=u+iv$ для которой необходимо выполнение условия К-Р.

[BapuK]

условие К-Р это в точности определение сопряженности функций $u$ и $v$:
Две функции нзываются сопряженными, если $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ и $\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$, т.е. достаточно показать, что $u$ и $v$ дифференцируемы, вот я и не пойму почему они дифференцируемы...

[Gortaur]

Вы не поймете почему из дифференцируемости $f$ следует гладкость компонент?

[Null]

На сколько я помню эта теорема доказывается с помощью выражения гармонической функции через интеграл по замкнутой кривой(окружости).

[BapuK]

Gortaur в сообщении #399174 писал(а):

Вы не поймете почему из дифференцируемости $f$ следует гладкость компонент?

почему из гладкости $u$ следует дифференцируемость $u$, почему из гладкости $v$ следует дифференцируемость $v$.

[gris]

В условии гармоничности есть дифференцируемость функций $u,\,v$ как действительных функций действительных переменных $x,y$ и выполнение равенства Лапласа отдельно для каждой функции.
Например, $u=xy$ и $v=y$ гармонические, но $f=xy+yi$ не дифференцируема, так как не выполнено условие К-Р.
Если я о том.
Ведь есть теорема, что аналитичность функции равносильна просто дифференцируемости компонент и выполнению условий КР. О гармоничности не говорится.
Есть теорема, что у аналитической функции компоненты являются гармоническими. Это следует из предыдущей теоремы и того, что аналитическая функция бесконечно дифференцируема.
Есть теорема, что для любой гармонической функции существует сопряжённая гармоническая.
Из гармоничности функции следует её дифференцируемость в вещественном смысле. Из существования вторых частных производных следует существование первых.
И гармоническая функция является аналитической функцией своих аргументов.

[ewert]

gris в сообщении #399226 писал(а):

Есть теорема, что у аналитической функции компоненты являются гармоническими. Это следует из предыдущей теоремы и того, что аналитическая функция бесконечно дифференцируема.

Бесконечной дифференцируемости не нужно, достаточно просто аналитичности в смысле дифференцируемости по комплексной переменной в каждой точке области, даже и без предположения о непрерывности этой производной (см. Шабат, Введение в комплексный анализ). Это уж потом оказывается, что функция тогда заодно уж и бесконечно дифференцируема.

В обратную сторону -- тут сложнее. Не очень понятно, что вообще имеется в виду под "дифференцируемостью компонент", варианты могут быть очень разными, соответственно и доказательства тоже.

[gris]

"Предыдущая теорема" как раз и гласит, что компонеты аналитической функции вещественно дифференцируемы и сопряжены. Но как отсюда сразу следует их гармоничность? Надо же второй раз профифференцировать.
Дифференцируемость компонент на данном этапе означает существование первых частных производных компоненты как вещественной функции двух вещественных аргументов.

[ewert]

gris в сообщении #399233 писал(а):

"Предыдущая теорема" как раз и гласит, что компонеты аналитической функции вещественно дифференцируемы и сопряжены. Но как отсюда сразу следует их гармоничность?

Не уверен, что правильно понял вопрос, но там логика такая (достаточно длинная, да, но зато прозрачная). Из только аналитичности (только дифференцируемости по комплексной переменной) уже следует теорема Коши -- о том, что интеграл по замкнутому контуру равен нулю. Из неё следует формула Коши, выражающая значение в некоторой точке через интеграл по охватывающему эту точку контуру. Ну а отсюда уже формально следует бесконечная дифференцируемость, причём по $z$ (тем более по $x$ и $y$).

[gris]

А кто бы спорил? Речь идёт о том, как выстроить теоремы в некотором порядке их следования. Гармоничность, по-моему, определяется намного позже интегрирования, рядов, аналитического продолжения.
Мне кажется, всё недоразумение из-за слов ТС функции "гармонически сопряжены". Откуда они в данной теореме? Несомненно верной, но уж очень вторичной.

[ewert]

gris в сообщении #399248 писал(а):

Мне кажется, всё недоразумение из-за слов ТС "гармонически сопряжённые" функции. Откуда взялось слово "гармонически"?

Не вижу недоразумений. Очевидно, имелись в виду просто гармонические в обычном смысле, а "сопряжённые" -- в смысле условий Коши-Римана.

gris в сообщении #399248 писал(а):

Гармоничность, по-моему, определяется намного позже интегрирования, рядов, аналитического продолжения.

В стандартной последовательности изложения -- да. Именно поэтому формулировка теоремы и вполне естественна.

Другой вопрос -- что в точности понимается под "гармоничностью". Обычно в этом месте не заморачиваются и просто начинают с того, что эти функции по определению дважды непрерывно дифференцируемы. Тогда -- никаких проблем.

[gris]

Недоразумение в вопросах ТС.
Гармонические функции дифференцируемы вещественно по каждому аргументу. Этого следует из существования оператора Лапласа. И этого достаточно для проверки условий КР. Но гармоничности не требуется. Это уже бесполезное ослабление теоремы. Как и не требуется комплексной дифференцируемости гармонических функций. А создаётся впечатление, что именно о ней спрашивает автор, хотя я и сомневаюсь.
Доказав что-то для чётного числа, нет смысла отдельно доказывать это для чисел, кратных 8.

[ewert]

gris в сообщении #399269 писал(а):

Но гармоничности не требуется. Это уже бесполезное ослабление теоремы. Как и не требуется комплексной дифференцируемости гармонических функций. А создаётся впечатление, что именно о ней спрашивает автор, хотя я и сомневаюсь.

Этого я совершенно не понял. Хорошо, переформулируем его теорему аккуратнее:

$f(z) = u + iv$ - дифференцируема по $z$ в области $\Longleftrightarrow$ каждая из функций $u(x,y)$, $v(x,y)$ является гармонической в этой области и эти функции связаны между собой условиями Коши-Римана.


Автор, безусловно, имел в виду именно это. А если так -- какие могут быть вопросы?...

[gris]

Теорема верна и в этой формулировке, но формально вредна.
Ибо кому-то для проверки дифференцируемости вздумается проверять гармоничность и считать вторые производные.

Речь идёт не об этой теореме как о математическом явлении, так как фактически, конечно, ослабления нет, но о теореме как инструменте для применения в учебных задачах.