Гармонические функции

[ewert]

gris в сообщении #399296 писал(а):

Теорема верна и в этой формулировке, но формально вредна.

что значит "вредна", когда она стандартна

[gris]

Я было ответил, но повторю, что при этой формулировке у решающих обычные учебные задачи может сложится впечатление, что для установления дифференцируемости функции надо проверять компоненты на гармоничность и находить их вторые частные производные.
Тогда как стандартная формулировка говорит только об однократной дифференцируемости (причём только существовании производных) и условиях Коши-Римана.

[BapuK]

Функция $u(x,y)$ называтся дифференцируемой в точке $(x_0, y_0)$ если в некоторой окрестности ее приращение можно представить в виде: $\Delta u = u(x,y) - u(x_0, y_0) = a\Delta x + b\Delta y + o(\sqrt{x^2 + y^2})$
Почему если $u$ - гармоническая функция, то она дифференцируема?
Раз $u$ - гармоническая ф-ия, то у нее существуют частные производные по каждому аргументу, из существования этих частных производных следует дифференцируемость $u$?
Вопрос может показаться глупым, потому что у меня в голове что-то все перепуталось

PS стандартная формулировка была до этого и доказательство опирается на нее, вот только возник маленький непонятный моментик

[ewert]

Ну скажем так. Никто не будет проверять дифференцируемость через гармоничность. Пафос этой теоремы в другом: в том, что дифференцируемость по зет в определённом смысле равносильна гармоничности. Другое дело, что условия Коши-Римана сюда приплетены действительно несколько искусственно, поэтому формулировка выглядит несколько тяжеловесно.

-- Чт янв 13, 2011 15:54:03 --

BapuK в сообщении #399308 писал(а):

Почему если $u$ - гармоническая функция, то она дифференцируема?
Раз $u$ - гармоническая ф-ия, то у нее существуют частные производные по каждому аргументу, из существования этих частных производных следует дифференцируемость $u$?

Не следует. Но обычно гармонические функции с самого начала определяются как дважды непрерывно дифференцируемые по совокупности переменных, и тогда Ваш вопрос празден. Поэтому я и спрашивал, как в точности вам формулировали определение гармоничности.

[gris]

Гармонические функции определяются не в точке, а в области. Существование неперерывных вторых частных производных в области влечёт непрерывность первых в ней, а значит и дифференцируемость по совокупности. Хотя для КР дифференцируемость по совокупности не нужна.
Хотя гармоническая функция не только дифференцируема по совокупности своих переменных, но и аналитична.

[BapuK]

Тогда где можно увидеть доказательство того, что функция 2-ух переменных, которая имеет непрерывные частные производные 1 порядка является дифференцируемой?

[Null]

Путь $f$- непрерывная и $\Delta f = 0$

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(R \cos(\phi),R \sin(\phi))\frac{R^2-x^2-y^2}{(R \cos(\phi)-x)^2+(R \sin(\phi)-y)^2}d\phi$$

- гладкая

[gris]

BapuK, в любом учебнике по функциям многих переменных. Обратите внимание, что для дифференцируемости функции в точке требуется существование частных производных в окрестности точки и непрерывность в самой точке. Сейчас просто не могу точно указать место. Есть и в Ф. и в З.

[BapuK]

Да, спасибо, Фихтенгольц, Т.1, стр.379. Вопросов больше нет :)