Скалярное произведение зависит от базиса?

[moscwicz]

Например в монтеливских пространствах всякое замкнутое ограниченное множество компактно. Это роднит их с конечномерными пространствами.

[ewert]

Munin в сообщении #394096 писал(а):

Огласите, пожалуйста, весь список. Ну или хотя бы наиболее часто встречающуюся его часть, без маргинальной экзотики.

Да просто вопрос непонятен. Если имелись в виду "вещественные бесконечномерные пространства со скалярным произведением", то пожалуйста, пространство вещественнозначных квадратично суммируемых функций (или последовательностей аналогично). Никакой экзотики. Вообще под гильбертовыми пространствами обычно понимают как вещественные, так и комплексные (хотя терминология тут плавает). Другое дело, что с вещественными пространствами предпочитают дела не иметь -- в первую очередь потому, что в них нет последовательной спектральной теории.

[Ales]

Munin в сообщении #394096 писал(а):

ewert в сообщении #394092 писал(а):

а в каком смысле аналогичные?

Огласите, пожалуйста, весь список. Ну или хотя бы наиболее часто встречающуюся его часть, без маргинальной экзотики.

Я хочу представлять себе меню, из которого реально происходит выбор в разных жизненных ситуациях.

Я знаю только $\mathbb R^n$ и пространство тригонометрических рядов.

[ewert]

moscwicz в сообщении #394098 писал(а):

Например монтеливских пространствах всякое замкнутое ограниченное множество компактно.

Но они даже не нормированные.

-- Пт дек 31, 2010 14:24:15 --

Ales в сообщении #394100 писал(а):

пространство тригонометрических рядов.

"Пространства рядов" вообще-то не бывает (любой ряд -- это конструкция на пространстве).

[moscwicz]

ewert в сообщении #394101 писал(а):

Но они даже не нормированные.

Да. И что?

[Ales]

Можно еще добавить и распределения на $\mathbb R^n$.

-- Пт дек 31, 2010 13:27:36 --

ewert в сообщении #394101 писал(а):

"Пространства рядов" вообще-то не бывает (любой ряд -- это конструкция на пространстве).

Имел в виду пространство функций с суммируемым квадратом.

[ewert]

moscwicz в сообщении #394102 писал(а):

Да. И что?

Ничего, просто

Munin в сообщении #394091 писал(а):

какие существуют бесконечномерные пространства с нормами и/или скалярными произведениями,

[moscwicz]

ewert в сообщении #394104 писал(а):

moscwicz в сообщении #394102 wrote:
Да. И что?

Ничего, просто

Вот например теорема Пеано (из курса ОДУ) в бесконечномерных гильбертовых пространствах неверна, а в монтелевских пространствах Фреше верна.

[ewert]

Ales в сообщении #394103 писал(а):

Имел в виду пространство функций с суммируемым квадратом.

Тогда почему именно "тригонометрические ряды"?... Как минимум очень даже бывают ещё и чебышёвские, да и далеко не только они.

-- Пт дек 31, 2010 14:32:25 --

moscwicz в сообщении #394106 писал(а):

Вот например теорема Пеано (из курса ОДУ) в бесконечномерных гильбертовых пространствах неверна, а в монтелевских пространствах Фреше верна.

допустим, только это оффтоп (если, конечно, Munin не считает иначе)

[moscwicz]

ewert в сообщении #394107 писал(а):

допустим, только это оффтоп

почему? мы обсуждаем употребительные в анализе пространства и их свойства (близкие к конечномерным)

[Ales]

ewert в сообщении #394107 писал(а):

Тогда почему именно "тригонометрические ряды"?...

Они самые популярные. Исторически все с них началось и вся теория ради них придумана.

[ewert]

moscwicz в сообщении #394108 писал(а):

мы обсуждаем

ну вот Munin сейчас вернётся и скажет наконец, что же именно мы обсуждаем (я пока этого так толком и не понял)

Ales в сообщении #394111 писал(а):

Исторически все с них началось и вся теория ради них придумана.

Это было давно и на сегодня уже неправда.

[Ales]

И еще я не помню что это за пространство. Проще сказать - пополнение пространства тригонометрических многочленов, а потом уже разбирать что там такое получилось (или не разбирать).

ewert в сообщении #394113 писал(а):

Это было давно и на сегодня уже неправда.

Почему же неправда? Можете подробнее объяснить?

[ewert]

Ales в сообщении #394117 писал(а):

Почему же неправда?

Исторически ряды Фурье действительно сочинялись для работы с периодическими функциями и, соответственно, были тригонометрическими. Но на сегодняшний день это -- всего лишь разложения по ортогональным составляющим, и именно это в них принципиально, тригонометрические же ряды остались не более чем очень-очень частным приложением.

[Munin]

ewert в сообщении #394113 писал(а):

ну вот Munin сейчас вернётся и скажет наконец, что же именно мы обсуждаем (я пока этого так толком и не понял)

Не могу я этого сказать, если всё, что знаю о предмете - только названия, да и их я только пока спрашиваю.

Я так понял, основной "аналог" евклидового пространства, обладающий достаточно хорошей линейной алгеброй - это гильбертово (пускай только комплексное)? Тут ещё упоминались предгильбертовы, какие чаще встречаются?

moscwicz
Я курса ОДУ в объёме Мехмата не слышал, не поделитесь, что есть теорема Пеано?

ewert в сообщении #394101 писал(а):

"Пространства рядов" вообще-то не бывает (любой ряд -- это конструкция на пространстве).

А пространства формальных рядов бывают?