Решить в рациональных числах

[Woland]

Уважаемые участники форума!

Подскажите пожайлуста, как можно найти все рациональные решения следующего
уравнения p+(1-p)k^2=x^2, удовлетворяющие следующим условиям:
1.p,k,x- рациональные числа
2.k не равно 1
3.p<1
4.p не является квадратом ни одного рационального числа.

А так же, может ли существовать формула, дающая ВСЕ корни данного уравнения?

[Руст]

Разве это не дает все решения:
$p=\frac{x^2-k^2}{1-k^2}.$

[Woland]

Руст писал(а):

Разве это не дает все решения:
$p=\frac{x^2-k^2}{1-k^2}.$

А почём известно, что при некоторых х,к ---p не является квадратом
какого- либо рационального числа?

Вообще я не очень точно сформулировал задачу,требуется:
1. Найти зависимость между величинами p,k такую, что величина p+(1-p)k^2
даёт квадрат какого -либо рационального числа.

Добавлено спустя 54 минуты 25 секунд:

То есть необходимо иметь такую зависимость между
величинами p,k, что лишь только p,k удовлетворяют такой
зависимости как величина p+(1-p)k^2 образует
квадрат некоторого рационального числа, причём заранее
не известно какого именно.
Изначально эта задача возникла из за потребности иметь
некоторый критерий, для оценки определённого класса квадратов рациональных чисел.

Вероятно не всякий квадрат, какого-либо рационального числа,
может быть найден из этой зависимости. Но интересен вопрос:
какова должна быть зависимоть, что бы она охватывала
как можно больший класс квадратов рациональных чисел,
и удовлетворяла условиям 1-4.

Добавлено спустя 18 минут 20 секунд:

В самой искомой зависимости число х фигурировать НЕ должно.

[Руст]

Всё это связано с представимостью чисел квадратичными формами (во многом это есть теория родов квадратичных форм Гаусса). Если k=x/y, p=b/(a+b), умножив на (y(a+b))^2 получим
$d(ax^2+by^2), \ d=a+b$
Рассматривая числа $x+\sqrt D , \ D=-ab$ вопрос сводится к представимости числа ax^2/d в виде нормы Norm(ax+iy). Это приводит к необходимому условию символ Лежандра (D/q)=1, для любого простого делителя q, входящего в значенатель p в нечётной степени. На k как таковой и не должно быть условий.

[maxal]

Woland в сообщении #39136 писал(а):

Найти зависимость между величинами p,k такую, что величина p+(1-p)k^2 даёт квадрат какого -либо рационального числа.

Зависимость такая:

$$ k = \frac{ (p - 1) q^2 - 2pq + p }{(p - 1)q^2 - 2(p-1)q + p},$$

где $q$ - произвольное рациональное число.
При этом:

$$p+(1-p)k^2 = \left( \frac{(p - 1)q^2 - p}{(p - 1)q^2 - 2(p-1)q + p}\right)^2.$$