Нужны ли нам натуральные числа?

[whitefox]

Традиционно натуральными называются целые положительные числа $\{1,2,3,...\}$ множество коих обозначается знаком $\mathbb N$. Этому нас учат в школе. Но в XIX веке появилось новое определение натуральных чисел. А именно -- натуральными стали называть целые неотрицательные числа $\{0,1,2,...\}$. Во многих случаях новое определение оказалось удобнее старого и стало широко применяться в математических текстах.

Одновременное существование двух определений натурального числа неизбежно привело к путанице и непониманию. Чтобы быть понятыми правильно, авторы стали избегать использования этого термина, заменяя его неуклюжими выражениями "целое положительное число" либо "целое неотрицательное число".

Это привело к тому,что в современных математических текстах практически не встречается термин "натуральное число".

В связи с этим и возникает вопрос: а нужно ли нам понятие натурального числа?

[ewert]

whitefox в сообщении #389834 писал(а):

В связи с этим и возникает вопрос: а нужно ли нам понятие натурального числа?

Нужно как минимум по двум причинам.

1. Историческая: без них становится менее понятной сама логика возникновения других числовых множеств.

2. Теоретико-множественная: понятие счётности основывается именно на натуральных числах, и это достаточно принципиально.

Може, кто и ещё чего вспомнит. А что до путаницы -- так это как раз неважно, мало ли в математике терминологической путаницы. Скажем, с компактностью или с гильбертовостью. И ничего, живут как-то люди.

[whitefox]

Ну что же. Этих двух доводов вполне достаточно.

Но тогда возникает другой вопрос: а какое определение из двух нам нужно?

[Portnov]

Во многих работах встречаю использование $\mathbb{N}=\{1,2,3\dots\}$ и $\mathbb{N}_0=\{0\}\cup\mathbb{N}$. Множеством натуральных чисел называется первое, второе — «целые неотрицательные». По-моему, самое то.

[whitefox]

А во многих других работах встречаются обозначения: $\mathbb N_1=\{1,2,3,...\}$ и $\mathbb N_0=\{0,1,2,...\}$. Но сам термин "натуральное число" авторы не используют, называя первое множество -- "целые положительные числа", а второе -- "целые неотрицательные числа". Что, ИМХО, выглядит очень неуклюже.

Также встречаются обозначения $\mathbb Z_0$, $\mathbb Z^0$, $\mathbb Z_+$, $\mathbb Z^+$, $\mathbb W$ и многие другие для множества $\{0,1,2,...\}$. Множество $\{1,2,3,...\}$ иногда обозначают $\mathbb N^*$.

Не пора ли во всём этом навести порядок и придти к единому стандарту?

[Portnov]

Это было бы хорошо, только это невозможно. Во-первых, это далеко не единственная неоднозначность в обозначениях/терминах. Во-вторых, часто математики «любят» свои обозначения и «не любят» другие. Скажем, в моей alma mater было два доктора наук, один говорил «векторные пространства», другой — «линейные пространства» (это одно и то же, если кто не знает). Каждый из них выгонял с семинаров аспирантов, осмелившихся использовать «чужой» термин. Они приводили какие-то причины, но, насколько я понимаю, на самом деле дело было просто в том, что эти два профессора когда-то очень давно поссорились и с тех пор друг с другом не разговаривали. Вот и вводите стандартизацию в таких условиях :)

[whitefox]

Да согласен. Идеал в принципе не достижим. Но, ведь, к нему можно стремиться? И почему бы не начать с натуральных чисел?

История с профессорами поучительна, но только там ситуация несколько иного рода. Там одна сущность имеет два имени, что не является большой бедой. С натуральными же числами -- две разные сущности имеют одно и тоже имя, а это уже беда.

В англоязычной литературе, имхо, стандарт де-факто уже начинает просматриваться. Там всё чаще для обозначения целых неотрицательных чисел используется термин whole (впрочем, его иногда используют и для обозначения целых положительных или даже всего множества целых чисел).

Не пора ли и нам придумать специальный термин для обозначения целых неотрицательных чисел, а термин "натуральные числа" закрепить за целыми положительными

[anwior]

whitefox в сообщении #389834 писал(а):

Традиционно натуральными называются целые положительные числа $\{1,2,3,...\}$ множество коих обозначается знаком $\mathbb N$. Этому нас учат в школе. Но в XIX веке появилось новое определение натуральных чисел. А именно -- натуральными стали называть целые неотрицательные числа $\{0,1,2,...\}$. Во многих случаях новое определение оказалось удобнее старого и стало широко применяться в математических текстах.

Одновременное существование двух определений натурального числа неизбежно привело к путанице и непониманию.

Случайно зашел на список Дискуссионные темы (М) и совершенно случайно над списком заметил
подфорум: Великая теорема Ферма

раздел для тех, кто хочет найти короткое и красивое док-во ВТФ:
Для любого натурального $n>2$ уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет натуральных решений $a$, $b$ и $c$

Воспользовавшись лишь новым определением натуральных чисел, нашел (средствами XIX века!) самое короткое и самое красивое доказательство ошибочности этого утверждения.
(подробности можно будет узнать только после опубликования моего решения-тчк)

Вывод: Одновременное существование двух определений натурального числа неизбежно привело к путанице и непониманию. А также, к искажению (к низвержению) ранее установленных истин.

[paha]

whitefox в сообщении #390167 писал(а):

Не пора ли во всём этом навести порядок и придти к единому стандарту?

а Вам, товарищ, не все ли равно? К математике это не имеет никакого отношения

[whitefox]

(Оффтоп)

Лично мне это, конечно, по-барабану. Просто жалко стало отдельных участников, посещающих этот форум, и страшно удивляющихся когда им сообщают, что ноль это натуральное число.

Не так давно с одним ферматучастником даже истерика приключилась.

2 paha:
А почему Вы считаете, что натуральные числа не относятся к математике?

[paha]

whitefox в сообщении #390433 писал(а):

А почему Вы считаете, что натуральные числа не относятся к математике?

споры о стандартах не имеют отношения, не передергивайте

[Ales]

Поддерживаю paha: математики не занимаются такой чепухой.

По теме: от лишнего термина никому еще худо не было.
Чтобы другим людям были понятны Ваши тексты, нужна избыточная информация, переопределение и масло-масляное:
"натуральное, то есть целое положительное"
или "натуральное, то есть целое положительное или ноль".
Но ноль обычно не причисляют к натуральным, автора текста посчитают неграмотным.

[whitefox]

paha в сообщении #390436 писал(а):

споры о стандартах не имеют отношения

Половина дискуссий на этом форуме сводится к тому -- как участники понимают то или иное стандартное определение.

Так почему же стандартные определения не имеют отношения к математике?

Ales в сообщении #390447 писал(а):

Но ноль обычно не причисляют к натуральным, автора текста посчитают неграмотным.

А это смотря на какую тему пишет автор. В теории множеств, например, или в теории алгоритмов его скорее сочтут безграмотным если он не отнесёт ноль к натуральным числам.

Или если автор пишет по английски -- в англоязычной литературе ноль, обычно, натуральное число.

Ales в сообщении #390447 писал(а):

математики не занимаются такой чепухой.

Под чепухой Вы понимаете -- давать определения?

[Ales]

whitefox в сообщении #390481 писал(а):

А это смотря на какую тему пишет автор. В теории множеств, например, или в теории алгоритмов его скорее сочтут безграмотным если он не отнесёт ноль к натуральным числам.

Или если автор пишет по английски -- в англоязычной литературе ноль, обычно, натуральное число.

Понятное дело: любой текст подразумевает адресата.
То англичане.
А у нас все привыкли, что натуральные - целые положительные.

whitefox в сообщении #390481 писал(а):

Под чепухой Вы понимаете -- давать определения?

Чепуховый вопрос: включать ли ноль в натуральные или нет, использовать ли термин натуральные или нет.
Но если лень или опасно заниматься настоящими вопросами, то можно и в такие играться.
Вроде бы математика, но мозги напрягать не надо.

-- Чт дек 23, 2010 01:15:30 --

Вот если бы Вы спросили: "нужны ли нам "ненатуральные" числа?". Это был бы на мой взгляд серьезный вопрос.
Или так: "все ли, так называемые, натуральные числа являются таковыми"?
Но это тоже уже не математика.

[whitefox]

Ales в сообщении #390483 писал(а):

Чепуховый вопрос: включать ли ноль в натуральные или нет, использовать ли термин натуральные или нет.
Но если лень или опасно заниматься настоящими вопросами, то можно и в такие играться.
Вроде бы математика, но мозги напрягать не надо.

Да полно-те. Каму как не крупным математикам писать математические энциклопедии, решая тысячи подобных "чепуховых" вопросов?

Или эту работу должны выполнять дилетанты?

Согласен это скучно, и хочется заняться чистой математикой, но это необходимо.

А вот дилетанты, как раз, и любят "настоящие вопросы" вроде ВТФ.