Радиальная неограниченность

[sandycat]

Полагала, что при проверке условия радиальной неограниченности положительно определенной функции V(x) достаточно выполнить соответствующий анализ при $||x|| \to \infty $ вдоль координатных осей.

В каком направлении следует рассуждать, чтобы показать, что функция V(x) не является радиально неограниченной даже если она стремится к бесконечности при $||x|| \to \infty $ вдоль координатных осей?

На примере функции вида
$V(x) = \frac{(x_1+x_2)^2}{1+(x_1+x_2)^2} + (x_1 - x_2)^2$

[ewert]

Посмотрите, как она ведёт себя на осях и на биссектрисе $x_1=x_2$.

[paha]

ewert в сообщении #389299 писал(а):

и на биссектрисе $x_1=x_2$.

а что на бисектриссе $x_1=-x_2$?

И не просветите, что такое радиальная ограниченность?

[ewert]

paha в сообщении #389302 писал(а):

И не просветите, что такое радиальная ограниченность?

По контексту радиальная неограниченность -- это стремление к бесконечности при $\|x\|\to\infty$. На биссектрисе $x_1=x_2$ это нарушается.

Кстати, контрпример, на мой взгляд, чересчур изыскан в своей конкретности. Достаточно взять любую ограниченную функцию $u(r)$, положительную при $r>0$ и равную нулю в нуле. И любую функцию $v(\varphi)$, положительную на $[0;{2\pi}]$ всюду, за исключением одной или нескольких точек (в которых она равна нулю), не совпадающих с ${\pi k\over2}$. И рассмотреть функцию $f(\vec x)=u(r)+r\cdot v(\varphi)$ (в полярных координатах).

[Gortaur]

Из определения ewert (да и по названию свойства) вполне логично, что проверять все же стоит как минимум на лучах $x_2 = k x_1$. Возможно что это и критерий (если предел на каждом луче существует и равен $+\infty$ - то радиальная неограниченность).

[ewert]

Gortaur в сообщении #389314 писал(а):

Возможно что это и критерий

Нет, это не критерий. Представьте себе функцию, равную нулю не на луче, а на параболе (к примеру). По любому лучу подобная функция вполне имеет право уходить на бесконечность.

[paha]

т.е. надо просто перейти к полярным координатам и установить равномерную (по $\varphi$) сходимость $f(r,\varphi)\to+\infty$ при $r\to\infty$, так?

[ewert]

paha в сообщении #389330 писал(а):

т.е. надо просто перейти к полярным координатам и установить равномерную (по $\varphi$) сходимость $f(r,\varphi)\to+\infty$ при $r\to\infty$, так?

Ну фактически так, конечно, только никто так не говорит. Просто говорят $f(\vec x)\to+\infty$ при $\|\vec x\|\to+\infty$ -- и баста.

(я вообще-то слова "радиальная неограниченность" слышу тоже, кажется, впервые в жизни; но раз уж они произнесены -- то что иное они могли бы и означать-то?...)

[paha]

ewert в сообщении #389336 писал(а):

Ну фактически так, конечно, только никто так не говорит.

ewert в сообщении #389336 писал(а):

слышу тоже, кажется, впервые в жизни

хе))

С равномерной сходимостью -- это критерий, не определение:))

[ewert]

(Оффтоп)

paha в сообщении #389346 писал(а):

это критерий, не определение:))

А чем критерий отличается от определения -- когда речь идёт о базовых понятиях, а не об их конкретных проявлениях?...

[Gortaur]

Обычно применимостью.

[sandycat]

ewert в сообщении #389307 писал(а):

Кстати, контрпример, на мой взгляд, чересчур изыскан в своей конкретности.

Согласна. Было важно, чтобы меня поняли. И это, собственно, удалось.

Прогнала тестовую функцию по Вашим рекомендациям, с переходом к полярным координатам некоторые моменты стали проясняться. Спасибо за наводку. Пойду пробовать на реальной задаче.