Нормальное распределение

[Gortaur]

Есть две случайные величины

$$ x_i = a_i + b_i \xi, $$

где $i=1,2$ и $\xi \in \mathcal{N}(0,1)$. Когда пытаюсь привести вектор $x = (x_1,x_2)$ к форме многомерного распределения Гаусса, получается что $det(\Sigma) = 0$ - то есть данный вектор не нормально распределен? Тогда как он распределен?

[ewert]

Gortaur в сообщении #388041 писал(а):

получается что $\Sigma = 0$

Почему это?... Матрица ковариаций, грубо говоря -- вообще никогда не равна нулю.

[Gortaur]

О, прошу прощения - я имел ввиду определитель.

[ewert]

Gortaur в сообщении #388050 писал(а):

О, прошу прощения - я имел ввиду определитель.

Чего определитель?...

[Gortaur]

Определитель матрицы ковариации, поправил в первом сообщении.

[ewert]

Прошу прощения, невнимательно прочитал -- у Вас там, оказывается, одна и та же $\xi$. Ну тогда, естественно, матрица ковариаций вырожденна. Ну и что?... Ну будет совместная плотность выражаться через дельта-функцию. Что-нибудь типа $f(x_1,x_2)=N\,e^{-(\alpha x_1+\beta x_2-\mu)^2}\cdot\delta(\beta x_1-\alpha x_2+\gamma)$.

[Gortaur]

Да я в принципе руками посчитал, что

$$ P\{(x_1<c_1) \cap (x_2 <c_2)\} = N\left(\min\left\{\frac{c_1 - a_1}{b_1},\frac{c_2 - a_2}{b_2}\right\}\right). $$

Не подскажите, как отсюда вытащить плотность? Здесь $N(x) = \int\limits_\infty^x\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}\,dy$.

[ewert]

Отсюда -- не подскажу, лень. Но дело в том, что выражение, которое я написал -- очевидно, задаёт именно жёсткую линейную зависимость между компонентами и, очевидно, нормальное распределение каждой из компонент. Надо только согласовать все параметры.

(Логика здесь вот какая. Из Ваших условий легко вытаскивается связь между компонентами вида $\beta x_1-\alpha x_2+\gamma=0$ и, значит, в плотности вероятности обязательно должен присутствовать множитель $\delta(\beta x_1-\alpha x_2+\gamma)$. Тогда первый экспоненциальный сомножитель с необходимостью получается из маргинальных распределений.)

[alisa-lebovski]

Дело в том, что двумерное нормальное распределение не обязательно абсолютно непрерывно.
Когда компоненты вектора линейно зависимы, плотность не существует.
Поэтому правильнее определять двумерное нормальное распределение не через плотность, а через характеристическую функцию, которая существует всегда.

[Gortaur]

Ну, ХФ мне не поможет считать матожидания $f(x)$

[alisa-lebovski]

Тогда напишите четко, что именно нужно посчитать.

[Gortaur]

Матожидание $(x_1-x_2)^2.$

[--mS--]

Gortaur в сообщении #388123 писал(а):

Матожидание $(x_1-x_2)^2.$

А что - вычесть, возвести в квадрат, посчитать матожидание что-то мешает? Ради чего весь этот огород?

[Gortaur]

В принципе, здесь конечно можно менять на выражение икса через кси, просто все в конце сведется к численным методам (больше размерность иксов, ксей ) - и неясно, то ли выражать $x$ через $\xi$ и аппроксимировать плотность $\xi$ чтоб считать интеграл от $f(x(\xi))$ - либо приближать сразу плотность $x$ чтобы считать интеграл от более простой функции $f(x)$.
На данном этапе еще хорошо что зависимость $x$ от $\xi$ линейная, потом она обещает стать сложнее

[ewert]

Gortaur в сообщении #388357 писал(а):

потом она обещает стать сложнее

Да какая разница, какая -- просто формально выражайте все через кси и тупо интегрируйте. Раз уж всё выражается именно через кси.

(так бы и сказали, что речь и всего-то -- про некое конкретное матожидание, а то всё: ковариации, ковариации...)