Как свернуть формулу?

[Rina_2010]

Здравствуйте!
Как свернуть сумму

$$\sum_{i=0}^{k}{2k \choose {2i}}p^{2i}(1-p)^{2k-2i}?$$

Пыталась использовать формулу

$$\sum_{i=0}^{n}{n \choose {2i}}=2^{n-1},$$

но не получилось.
Заранее спасибо!

[venco]

А такую формулу свернуть сможете?

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}p^{i}(1-p)^{2k-i}$$

[Rina_2010]

Да:

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}p^{i}(1-p)^{2k-i}=\sum_{i=0}^{n}{n \choose {i}}p^{i}(1-p)^{n-i}=(p+(1-p))^{n}=1^{2k}=1$$

[venco]

Ок, а такую?

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}{(-1)}^i p^{i}(1-p)^{2k-i}$$

А потом посмотрите, как связаны две формулы, что я привёл, и Ваша исходная.

[Rina_2010]

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}(-1)^{i}{p}^{i}(1-p)^{2k-i}=\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}(-p)^{i}(1-p)^{2k-i}=(1-2p)^{2k}.$$

Анализируя формулы, получается:

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}p^{i}(1-p)^{2k-i}+\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}(-1)^{i}p^{i}(1-p)^{2k-i}=\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {2i}}{p}^{2i}(1-p)^{2k-2i},$$

правильно?

[venco]

Почти, коэффициент потерялся.

[Rina_2010]

Да, забыла про 2!

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}p^{i}(1-p)^{2k-i}+\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}(-1)^{i}p^{i}(1-p)^{2k-i}=2\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {2i}}{p}^{2i}(1-p)^{2k-2i},$$

так?
А как тогда связать

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {2i}}{p}^{2i}(1-p)^{2k-2i}$$

и

$$\sum_{i=0}^{k}{2k \choose {2i}}{p}^{2i}(1-p)^{2k-2i}?$$

[AndreyXYZ]

Rina_2010 в сообщении #387198 писал(а):

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}p^{i}(1-p)^{2k-i}+\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}(-1)^{i}p^{i}(1-p)^{2k-i}=2\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {2i}}{p}^{2i}(1-p)^{2k-2i},$$

Неверно. Не знаю, зачем тебе эта сумма, но она упрощается следующим образом:

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}p^{i}(1-p)^{2k-i}+\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}(-1)^{i}p^{i}(1-p)^{2k-i}=$$ $$=\big(p+(1-p)\big)^{2k}+\big(-p+(1-p)\big)^{2k}=1+(1-2p)^{2k}.$$

[Rina_2010]

Согласна, что ошиблась.
Верно ли

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {2i}}{(2p)}^{2i}(1-p)^{2k-2i}=1+(1-2p)^{2k}?$$

[AndreyXYZ]

Нет. Откуда вообще могла получится такая сумма? При $i>k$ выражение $2k \choose 2i$ не имеет смысла.

[Rina_2010]

Разве не верно:

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}{p}^{i}(1-p)^{2k-i}+\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}{(-p)}^{i}(1-p)^{2k-i}=\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {2i}}{(p+p)}^{2i}(1-p)^{2k-2i}+\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {2i+1}}{(p-p)}^{2i+1}(1-p)^{2k-2i-1}=$$

$$=\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {2i}}{(2p)}^{2i}(1-p)^{2k-2i}=$$

$$=\sum_{i=0}^{k}{2k \choose {2i}}{(2p)}^{2i}(1-p)^{2k-2i}+\sum_{i=k}^{2k}{2k \choose {2i}}{(2p)}^{2i}(1-p)^{2k-2i}=\sum_{i=0}^{k}{2k \choose {2i}}{(2p)}^{2i}(1-p)^{2k-2i}?$$

[AndreyXYZ]

Почему

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}{p}^{i}(1-p)^{2k-i}=\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {2i}}{(p+p)}^{2i}(1-p)^{2k-2i}\,?$$

[Rina_2010]

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}{p}^{i}(1-p)^{2k-i}+\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}{(-p)}^{i}(1-p)^{2k-i}=\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}{(p^{i}+(-p)^{i})}(1-p)^{2k-i}=$$

$$(p^{i}+(-p)^{i})=2p^{i}$$

, если i-четное

$$(p^{i}+(-p)^{i})=0$$

, если i-нечетное
Тогда получаем:

$$=\sum_{j=0}^{k}{2k \choose {2j}}{(2p)^{2j}}(1-p)^{2k-2j}$$

Используя

AndreyXYZ в сообщении #387217 писал(а):

$$\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}p^{i}(1-p)^{2k-i}+\sum_{i=0}^{2k}{2k \choose {i}}(-1)^{i}p^{i}(1-p)^{2k-i}=$$ $$=\big(p+(1-p)\big)^{2k}+\big(-p+(1-p)\big)^{2k}=1+(1-2p)^{2k}.$$

Получается ответ:

$$\sum_{i=0}^{k}{2k \choose {2i}}{(2p)}^{2i}(1-p)^{2k-2i}=1+(1-2p)^{2k}$$

Огромное спасибо Вам, venco, за подсказки к решению!!!
И Вам, AndreyXYZ, за точность!

[AndreyXYZ]

Я думаю, там есть ошибка.

[Rina_2010]

А можно как-то свести

$$\sum_{i=0}^{k}{2k \choose {2i}}{(2p)}^{2i}(1-p)^{2k-2i}$$

к

$$\sum_{i=0}^{k}{2k \choose {2i}}{p}^{2i}(1-p)^{2k-2i}?$$