Вот такая статейка про дельта-функцию получилась...

[st256]

Извиняйте, что по техническим причинам на аглицком языке.

DELTA VECTOR IN ALGEBRAS WITH CONVOLUTION

Delta function is a very often used term. It is a convenient math object for efficient solution of wide spectrum of scientific tasks. But some problems are possible when we use delta function. For example usage of such math object can be a reason of mutually exclusive solutions for the same task and so on.

The main idea of this paper is to find other function that has the delta function's properties. Because this new function is not the delta function so it has to be some limitations for using a new method. For example this new function can has delta function's properties for some limited set of other functions only.

Let $ H $ is the Hilbert space and $ x(t) $, $ y(t) $, $ z(t) $ are vectors of this space:

$\biggl \{ x(t), y(t), z(t) \biggl \} \subset H$

We consider vectors in $ H $ are real functions of the real argument.

Because $ H $ is the Hilbert space so there is an inner product for any two vectors of this space too.

$\biggl( x(t),y(t) \biggl) .$

Let we build the convolution with the inner product.

Definition 1. A convolution of two Hilbert space's vectors is a third vector of this space which is calculated by following formula:

$z(t)=x(t)*y(t)= \biggl( x(\tau),y(t-\tau) \biggl), \quad z(t) \in H, \;\; t \in \Theta, \;\; \tau \in \Theta, \;\; t-\tau \in \Theta . $

It is possible to prove the commutativity property of this convolution.

Lemma 1. The convolution of two Hilbert space's vectors has the commutativity property:

$x(t)*y(t)=y(t)*x(t) $.

Proving.

$x(t)*y(t)=\biggl( x(\tau),y(t-\tau) \biggl)=\biggl( y(t-\tau),x(\tau) \biggl) .$

Using this substitution: $ r=t-\tau $ and $ \tau=t-r $

$\biggl( y(t-\tau),x(\tau) \biggl)=\biggl( y(r),x(t-r) \biggl)=y(t)*x(t) .$

Lemma 1 is proved.

Of course the delta function cannot be a vector of Hilbert space because norm of delta function is infinity. So our target is finding such function that has following very important delta function property:

$x(t)=x(t)*\delta(t) .$

Definition 2. Delta vector of Hilbert space with the convolution is such vector $ \gamma(t) $ that has following property:

$ x(t)=x(t)*\gamma (t) .$

$ x(t) $ is any vector from $ H $.

Delta vector is defined. Now it is necessary to calculate one.

Theorem 1. If Hilbert Space with orthonormal basis $ \biggl \{ n_i(t) \biggl \} $ consists a delta vector $ \gamma(t) $ then this vector can be calculated by formula:

$ \gamma (t)= \sum\limits _{i} n_i(t) n_i(0) .$

Proving. Let $ x(t) $ is a vector in $ H $ and $ \gamma (t) $ is the delta vector of $ H $, so in accordance with definition 2:

$ x(t)=x(t)*\gamma (t)= \biggl( x(\tau),\gamma(t-\tau) \biggl).$

Expanding vectors $ x(\tau) $ and $ \gamma(t-\tau) $ in basis $ \biggl \{ n_i(t) \biggl \} $:

$ x(\tau)=\sum\limits_i a_i n_i (\tau).$

$ \gamma(t-\tau)=\sum\limits_i b_i(t) n_i (\tau) ,$

$ a_i $ and $ b_i $ are expansion coefficients. In accordance with Parseval's identity it is possible to write:

$x(t)=\biggl( x(\tau),\gamma(t-\tau) \biggl)= \sum\limits_i a_i b_i (t).$

Expanding vectors $ x(t) $ in basis:

$ \sum\limits_i a_i n_i (t)=\sum\limits_i a_i b_i (t).$

So we can write:

$ n_i (t)= b_i (t).$

Therefore:

$ \gamma(t-\tau)=\sum\limits_i n_i (t) n_i (\tau) .$

and

$ \gamma(t)=\gamma(t-0)=\sum\limits_i n_i (t) n_i (0) .$

The theorem is proved.

For the reason of theorem 1 it is possible to deduce two conclusions.

First. The delta vector always exists in finite Hilbert space. Infinite Hilbert space contains this vector if $ \sum\limits_i n_i (t) n_i (0) $ is convergent series only. For example, Hilbert space of functions that are defined on finite segment $ \biggl [ - \frac {1} {2} , \frac {1} {2} \biggl ] $ expands in the basis $ e^{j2\pi t k} $. It is obvious that the series

$ \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} e^{j2\pi t k} e^{j2\pi 0 k} = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} e^{j2\pi t k}.$

is divergent one at point $ t=0 $. So the delta vector is absent in this Hilbert space.

Secondly. Really, the delta vector can be absent in some Hilbert spaces but the interpolating operator

$x(t)= \biggl( x(\tau),\gamma(t-\tau) \biggl)=\biggl( x(\tau), \sum\limits_i n_i (t) n_i (\tau) \biggl)=\sum\limits_i n_i (t) \biggl( x(\tau),n_i (\tau) \biggl) $

always exists if function $ x $ is defined in the point $ t $. Dirac said that delta function can exist under integral sign only. Using a paraphrase we could say that the delta vector can exist under inner product sign.

Proving of some delta vector properties is present below.

Lemma 2. Square of norm (energy) of delta vector equals $ \gamma(0) $

$ \| \gamma(t) \| ^2 = \gamma (0) .$

Proving.

$ \| \gamma(t) \| ^2 = \biggl( \gamma (t), \gamma (t) \biggl) .$

Using this substitution: $ f(-t)=\gamma(t),f(t)=\gamma(-t) $

$ \biggl( \gamma(t), \gamma(t) \biggl) = \biggl( \gamma(t),f(-t) \biggl) = \biggl( \gamma(t),f(0-t) \biggl)$

Using lemma 1:

$ \biggl( \gamma(t), f(0-t) \biggl) = \biggl( f(t), \gamma (0-t) \biggl) = f(0) = \gamma(-0) = \gamma(0)$

Lemma is proved.

This property of delta vector corresponds to intuitive understanding that norm of delta function is infinity:

$ \| \delta(t) \|^2 = \infty = \delta (0) .$

Discuss the symmetry property of delta vectors.

Lemma 3. For any delta vector, the following expression is truly

$ \gamma(r)=\gamma(-r).$

Firstly we will prove that

$ \biggl( x(t), \gamma(r-t) \biggl) = \biggl( x(t), \gamma(t-r) \biggl)$

for any $ x(t) $.

For formula $ \biggl( x(t), \gamma (t-r) \biggl) $ we use such substitution $ t-r=r-\tau $ and $ t=2r-\tau $

$ \biggl( x(t), \gamma (t-r) \biggl) = \biggl( x(2r- \tau ) , \gamma( r - \tau) \biggl) .$

According definition 2:

$ \biggl( x(2r- \tau ), \gamma (r- \tau) \biggl)=x(2r-r)=x(r)= \biggl( x(t), \gamma(r-t) \biggl) .$

Therefore


$ \biggl( \gamma(t), \gamma (t-r) \biggl)= \gamma (r) ;$

$ \biggl( \gamma(t-r), \gamma (t) \biggl)= \gamma (-r) .$

According definition 1:

$ \biggl( \gamma(t), \gamma (t-r) \biggl)= \biggl( \gamma(t-r), \gamma (t) \biggl).$

So

$ \gamma (r) = \gamma (-r) .$


Lemma is proved.

If some Hilbert space has a delta vector $ \gamma (t) $ then there is a full orthogonal basis $ \gamma (t-nT) $ . Below we will discuss this thesis.

Let there is a bijection of functional Hilbert space $ H $ with convolution on other functional Hilbert space $ F $. We add a proviso: every vector $ x(t) \in H $ corresponds to alone vector $ X(\omega) \in F $ and convolution of any two vectors $ x(t) \in H $, $ y(t) \in H $ corresponds to product of two vectors $ X(\omega) \in F $, $ Y(\omega) \in F $.

$ x(t)*y(t) \Leftrightarrow X(\omega)Y(\omega) .$

Apparently delta vector $ \gamma (t) \in H $ has to correspond to vector $ D(\omega)=1 $ on definitional domain of space $ F $ (this domain can beset of segments). It is necessary to obey condition

$ x(t)* \gamma (t) = x(t) \Leftrightarrow X(\omega)D(\omega) = X(\omega) .$

It is easy to show that

$ \biggl( x(t)* \gamma (t-T_1) \biggl) * \gamma (t-T_2) = x(t- T_1 - T_2 ) = x(t) * \gamma \left( t- (T_1 +T_2) \right) .$

Therefore:

$ X(\omega)D(\omega , T_1)D(\omega , T_2)=X(\omega)D(\omega , T_1 + T_2),$

$ D(\omega, T_1) $ corresponds to $ \gamma(t-T_1) $; $ D(\omega, T_2) $ corresponds to $ \gamma(t-T_2) $;
$ D(\omega, T_1 + T_2) $ corresponds to $ \gamma \left( t-(T_1 + T_2) \right) $. So we can write:

$ D(\omega, T_1)D(\omega, T_2)=D \left( \omega, T_1 + T_2 \right) . $

Finding logarithm:

$ \ln {D(\omega, T_1)} + \ln { D(\omega, T_2) } = \ln { D \left( \omega, T_1 + T_2 \right) } . $

Differentiating with respect to $ T_1 $:

$ \frac {1} {D(\omega,T_1)} \frac {dD(\omega,T_1)} {dT_1} = \frac {1} {D(\omega,T_1 + T_2)} \frac {dD(\omega,T_1 + T_2)} {dT_1} .$

From derived expression we see that:

$ \frac {1} {D(\omega,T)} \frac {dD(\omega,T)} {dT} = C ,$

$ C $ -- constant is depended from $ \omega $.

Therefore:

$ \frac {dD(\omega,T)} {dT} = C(\omega) D(\omega,T) .$

Apparently that this equation solution is the function

$ D(\omega,T)=e^{C(\omega)T} ,$

Let discuss the function $ D(\omega) $. On the assumption of Parseval's identity and lemma 2 we can write following expression:

$ \| \gamma (t) \| ^2 = \int\limits_{- \infty}^{\infty} |D(\omega)|^2 d \omega = \gamma(0) . $

From this expression and condition $ D(\omega) = 1 $ it is possible to find Lebesgue measure for $ D(\omega) $. This Lebesgue measure is $ \gamma(0) $. Now it is possible to prove a theorem.

Theorem 2. If functional Hilbert space has a delta vector $ \gamma(t) $ then this space has full orthogonal basis $ \gamma \left( t- \frac {2 \pi n} {\gamma(0)} \right) $ too.

Proving. There is a bijection of functional Hilbert space $ H $ with convolution on other functional Hilbert space $ F $. This bijection is Fourier transform. In this case convolution of two vectors in $ H $ corresponds to product of their spectrums in $ F $. If space $ H $ contains delta vector $ \gamma(t) $ then according to reasoning that is placed before all vectors in $ F $ have finite support. Against norm of $ \gamma(t) $ is infinite. Therefore all vectors in $ F $ can be not equal zero on the segment with total length $ \gamma(0) $.

Transform space $ F $ in the following way: all segments of the axis $ \omega $ where vectors can be not equal zero are been shifted close each other. Total segment (one's length is $ \gamma (0) $ ) is placed from point $ - \frac {\gamma (0)} {2} $ to point $ \frac {\gamma (0)} {2} $. Thereby all vectors from new space are expanded in the basis Fourier $ e^{j \frac {2 \pi n} {\gamma (0)} \omega} $ on the segment $ \left [ - \frac {\gamma (0)} {2} , \frac {\gamma (0)} {2} \right ] $. The basis Fourier $ e^{j \frac {2 \pi n} {\gamma (0)} \omega} $ is full basis. As it has been shown before the delta vector $ \gamma (t-nT) $ corresponds to $ e^{C(\omega)T} $ therefore $ T= \frac {2 \pi} {\gamma(0)}$ and $ C(\omega) = n \omega $. Because $ e^{j \frac{2 \pi n} {\gamma(0)} \omega } $ is a full basis so correspondent vectors $ \gamma \left( t- \frac {2 \pi n} {\gamma(0)} \right) $ are full basis too.

Theorem is proved.

Now let we will discuss interpolated possibility of the delta vector.

Theorem 3. If functional Hilbert space has a delta vector $ \gamma (t) $ then any vector $ x(t) $ in this space can be interpolated with its samples $ x \left( \frac {2 \pi n} { \gamma (0)} \right) $ by the following formula:
$x(t)= \frac {1} {\gamma (0)} \sum\limits_n x \left( \frac {2 \pi n} {\gamma (0) } \right ) \gamma \left( t - \frac {2 \pi n} {\gamma (0) } \right ) .$


Proving. According to theorem 2 $ \gamma \left( t - \frac {2 \pi n} {\gamma (0)} \right) $ vectors are the orthogonal basis in $ H $. Therefore any vector $ x \in H $ can be presented as

$ x(t) = \sum\limits_n C_n \gamma \left( t - \frac {2 \pi n} {\gamma(0)} \right) , \qquad C_n = \frac { \biggl ( x(t) , \gamma \left( t - \frac {2 \pi n} {\gamma (0)} \right) \biggl) } { \gamma(0) } = \frac {x \left( \frac {2 \pi n} {\gamma (0)} \right)} {\gamma (0)} .$

Therefore

$ x(t) = \frac {1} {\gamma(0)} \sum\limits_n x \left( \frac {2 \pi n} { \gamma (0)} \right) \gamma \left( t - \frac {2 \pi n} { \gamma (0)} \right) .$

The theorem is proved.

Introduce an area definition for vectors in $ H $.

Definition 3. $Area of a vector [math]$ x $ is the functional$[/math]

$ S= \frac {1} {\gamma(0)} \Biggl ( x(t) , \sum\limits_n \gamma \left( t- \frac {2 \pi n} {\gamma(0)} \right) \Biggl ) .$

Now we can prove next delta vector's property.

Lemma 4. Delta vector's area is always 1.

Proving. According definition 3

$ S= \frac {1} {\gamma(0)} \Biggl ( \gamma(t), \sum\limits_n \gamma \left( t- \frac {2 \pi n} { \gamma (0) } \right) \Biggr) = \frac {1} {\gamma(0)} \sum\limits_n \Biggl( \gamma (t), \gamma \left( t- \frac {2 \pi n} {\gamma(0)} \right) \Biggr) .$

Because vectors $ \gamma \left( t- \frac {2 \pi n} {\gamma(0)} \right) $ and $ \gamma \left( t- \frac {2 \pi k} {\gamma(0)} \right) $ are orthogonal if $k \ne n$ so their inner product is zero. Therefore

$ S= \frac {1} {\gamma(0)} \biggl( \gamma(t) , \gamma(t) \biggr) = \frac {1} {\gamma(0)} \gamma(0) = 1 .$

The lemma is proved.

Let we present an example of Hilbert space with a delta vector. This space is the set of all functions with finite spectrums that are not zero on segment $ [ -\Omega , \Omega ] $ only. Of course norms of these functions are limited too. Inner product for any two vectors of this space is the following expression:

$ \biggl( x(t) , y(t) \biggr) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t)y(t)dt .$

According definition 1 and definition 2 it is correct to write:

$ x(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \gamma (t- \tau) d \tau ,$

$ x(t) $ is any vector of this space.

This expression is a classical convolution of two functions $ x(t) $ and $ y(t) $ Note: classical Dirac delta function is not a delta vector because one's spectrum is not limited by the segment $ [- \Omega , \Omega] $ so this function is not a vector of the presented space. It is necessary to find delta vector among functions with a finite spectrum.

It is well known that convolution of two functions corresponds to product of their spectrum. Let we find such function $ \gamma (t) $ with spectrum $ D(\omega) $ that has following property:

$ X(\omega)=D(\omega)X(\omega) ,$

$ X(\omega) $ is spectrum of any vector in the presented space.

Apparently that

$ D(\omega)= \left \{ \begin {array} {l} 1, \; \omega \in [-\Omega , \Omega ] \\ 0, \; \omega \notin [-\Omega , \Omega ] \end {array} \right.$

Only one function has such spectrum:

$ \gamma (t) = \frac { \sin \Omega t} {t} .$

It is well known that functions $ \frac {\sin \Omega (t-nT)} {\Omega (t-nT)} $ are an orthogonal basis for presented space. For this case: $ nT= \frac {2 \pi} {\Omega} n $, $ \gamma(0) = \Omega $, $ N \to \infty $. And interpolated theorem 3 for our space has following form:

$ x(t) = \sum\limits_{-\infty}^{\infty} x(nT) \frac { \sin \Omega (t-nT)} { \Omega (t-nT)} , \quad T=\frac {2 \pi} {\Omega} .$

This is famous Shannon's theorem.

[mihailm]

ну и переведите на русский или статья не ваша?

[zhoraster]

Перемещено в дискуссионный раздел.

(Оффтоп)

Судя по качеству английского языка, видимо, статья все-таки его.

[shwedka]

st256 в сообщении #386310 писал(а):

Definition 1. A convolution of two Hilbert space's vectors is a third vector of this space which is calculated by following formula:

$z(t)=x(t)*y(t)= \biggl( x(\tau),y(t-\tau) \biggl), \quad z(t) \in H, \;\; t \in \Theta, \;\; \tau \in \Theta, \;\; t-\tau \in \Theta . $

Просветите, пожалуйста, почему свертка двух фумкций принадлежит Вашему Гильбертову пространству.

[st256]

mihailm в сообщении #386319 писал(а):

ну и переведите на русский или статья не ваша?

В кратце так.

1. В пространстве Гильберта можно (иногда) найти вектор, который в отношении всех прочих векторов этого пространства обладает всеми свойсвами дельта-функции.
2. Дельта-вектор может быть, а может и не быть, но оператор с дельта-вектором есть всегда. Как говаривал сэр Дирак "дельта-функция всегда существует под знаком интегралла". У меня дельта-вектор всегда существует под знаком скалярного произведения.
3. Ну а коли уж дельта вектор вдруг есть, то есть и полная ортогональная система из сдвинутых дельта-векторов, по которой можно разложить (интерполлировать) любой вектор пространства. Это такая обобщенная теорема Котельникова.

-- Вс дек 12, 2010 00:52:53 --

shwedka в сообщении #386321 писал(а):

st256 в сообщении #386310 писал(а):

Definition 1. A convolution of two Hilbert space's vectors is a third vector of this space which is calculated by following formula:

$z(t)=x(t)*y(t)= \biggl( x(\tau),y(t-\tau) \biggl), \quad z(t) \in H, \;\; t \in \Theta, \;\; \tau \in \Theta, \;\; t-\tau \in \Theta . $

Просветите, пожалуйста, почему свертка двух фумкций принадлежит Вашему Гильбертову пространству.

Я ж не говорю, что на любом пространстве Гильберта ВСЕГДА можно построить сверточную алгебру. А то, что довольно часто это удается, можете мне поверить :)

-- Вс дек 12, 2010 00:56:47 --

(Оффтоп)

zhoraster в сообщении #386320 писал(а):

Судя по качеству английского языка, видимо, статья все-таки его.

Судя, по тому, что ничего другого сообщить не получилось, видима статья все-таки недурна.

[CowboyHugges]

Я не очень понял, у вас $H=L^2$, или абстрактное какое-то гильбертово пространство?

[st256]

CowboyHugges в сообщении #386331 писал(а):

Я не очень понял, у вас $H=L^2$, или абстрактное какое-то гильбертово пространство?

Понимаете, в Гильбертовом пространстве все сходится и сходится в среднеквадратичном смысле. Поэтому оно может быть $L_2$ только.

[shwedka]

st256 в сообщении #386327 писал(а):

А то, что довольно часто это удается, можете мне поверить :)

Как-то в математике это не тот способ убеждения.
Тогда, может быть, сформулируете условия точно?

st256 в сообщении #386310 писал(а):

Theorem 2. If functional Hilbert space has a delta vector $ \gamma(t) $ then this space has full orthogonal basis $ \gamma \left( t- \frac {2 \pi n} {\gamma(0)} \right) $ too.

Как-то мне неясно с доказательством полноты.
Фрагментик такой

st256 в сообщении #386310 писал(а):

Transform space $ F $ in the following way: all segments of the axis $ \omega $ where vectors can be not equal zero are been shifted close each other.

О каких векторах Вы говорите?
Обо всех элементах Гильбертова пространства? Тогда ничего сдвинуть не удается. Всю ось придется занять

[st256]

shwedka в сообщении #386337 писал(а):

Как-то в математике это не тот способ убеждения.
Тогда, может быть, сформулируете условия точно?

Не очень понял, что Вас не устраивает, но давайте попробую. Начнем с аналогии. Вот так обычно в учебниках вводят понятие пространства Гильберта:

1. Возьмем линейное пространство $H$.
2. Определим на нем скалярное произведение. Т.е. просто придумаем операцию, которая обладает такими свойствами:
$(x,y)=(y,x)^*$
$(x, y+z)=(x,y)+(x,z)$
$(ax,y)=a(x,y)$, но $ (x,ay)=a^*(x,y) $
$(x,x) \geq 0 $

Заметьте, никто не говорит "Просветите, пожалуйста, почему такое возможно?". Конечно, существуют линейные пространства, для которых сложно придумать скалярное произведение, но если вы все-таки сподобились, то, пожалуйста, получите пространство Гильберта. Все тоже самое верно и для моего случая.

1. Возьмем Гильбертово пространство $H$.
2. Определим на нем свертку, через скалярное произведение. Т.е. просто придумаем операцию, которая обладает такими свойствами:

$ z(t)=x(t)*y(t) = \biggl ( x(\tau), y(t-\tau) \biggr ), $

$z(t) \in H, x(t) \in H, y(t) \in H, t \in \Theta, \tau \in \Theta, t -\tau\in\Theta$

Так почему Вы от меня требуете, чтобы я гарантировал, что результат свертки оказывается в том же Гильбертовом пространстве, что и исходные вектора? Я не говорю, что это само собой разумеется, я говорю, что если мы все-таки сподобились, то, пожалуйста, получите сверточную алгебру с векторным произведением в виде нашей свертки. То, что это иногда воможно показывает пример, приведеный в конце статьи.

Цитата:

О каких векторах Вы говорите?
Обо всех элементах Гильбертова пространства? Тогда ничего сдвинуть не удается. Всю ось придется занять

Тут какое-то недопонимание. Я что делаю?

1. Беру функциональное пространство Гильберта.
2. Над его векторами выполняем преобразование Фурье

Теперь надо сказать, что существуют пространства Гильберта, состоящие из функций с финитным спектром (т.е. носитель спектра этих функций - конечен). Ну мера Лебега спектра всех этих функций конечна! Возьмите пространство Котельникова, например. Так вот, спектр, отличный от нуля, для этих функций может располагаться на нескольких отрезках, но суммарная длина этих отрезков - конечна. Вот мы берем все эти отрезки и сдвигаем. И "вся ось" тут никак не занимается.

[zhoraster]

(Оффтоп)

st256 в сообщении #386327 писал(а):

zhoraster в сообщении #386320 писал(а):

Судя по качеству английского языка, видимо, статья все-таки его.

Судя, по тому, что ничего другого сообщить не получилось, видимо, статья все-таки недурна.

Мечты, мечты... Я рад, что Вы цените мое мнение, но оно весьма противоположно Вашим предположениям. Мягко говоря: комментировать нечего, потому я и не комментировал.

[st256]

(Оффтоп)

zhoraster в сообщении #386408 писал(а):

Мечты, мечты... Я рад, что Вы цените мое мнение, но оно весьма противоположно Вашим предположениям. Мягко говоря: комментировать нечего, потому я и не комментировал.

Почему столько желчи? У Вас что-то случилось?

Прекращаем оффтоп и обсуждение личностей!

[shwedka]

Ну, придетсяв взяться за Вас по-серьезному.

st256 в сообщении #386397 писал(а):

Вот так обычно в учебниках вводят понятие пространства Гильберта:

Вы утаили от народа важное свойство, которое трабуется. Полноту. Если Вы взяли, как Вам хочется, линейное пространство, ввели на нем скалярное произведение, опять же какк хотелось. Но потом полноту нужно доказывать. А это уже работа.

st256 в сообщении #386397 писал(а):

1. Возьмем Гильбертово пространство $H$.
2. Определим на нем свертку, через скалярное произведение.

Вам придется определиться. Если абстрактное гильбертово пространство, то не имеют смысла выражения $x(t)$, преобразование Фурье и тп.
Если это конкретное пространство функций, то определитесь, на каком интервале, по какой мере.

st256 в сообщении #386397 писал(а):

Т.е. просто придумаем операцию, которая обладает такими свойствами:

$ z(t)=x(t)*y(t) = \biggl ( x(\tau), y(t-\tau) \biggr ), $

Если у Вас конкретное $L^2$, то означает ли последнее выражение скалярное произведение однои функции и сдвинутой другой. Если нет, то что это обозначает и почему тогда преобразование Фурье переводит ВАШУ 'свертку' в 'произведение'?

st256 в сообщении #386397 писал(а):

Теперь надо сказать, что существуют пространства Гильберта, состоящие из функций с финитным спектром (т.е. носитель спектра этих функций - конечен). Ну мера Лебега спектра всех этих функций конечна!

Придется выбрать. Конечный носитель и носитель, имеющий меру ноль, -- это сильно разные понятия.

st256 в сообщении #386397 писал(а):

если мы все-таки сподобились,

Хотелось бы видеть хотя бы один нетривиальный пример, когда сподобились.

st256 в сообщении #386310 писал(а):

Definition 2. Delta vector of Hilbert space with the convolution is such vector $ \gamma(t) $ that has following property:

$ x(t)=x(t)*\gamma (t) .$

$ x(t) $ is any vector from $ H $.

Опять же, хотя бы один нетривиальный пример.

st256 в сообщении #386310 писал(а):

this vector can be calculated by formula:

$ \gamma (t)= \sum\limits _{i} n_i(t) n_i(0) .$

мне здесь непонятно, что такое $n_i(0)$ здесь. Поскольку $L^2$ состоит не из фунций, а из классов функций, то значение отдельного элемента в точке не определено.

Для начала хватит.

[st256]

st256 в сообщении #386412 писал(а):

Ну, придетсяв взяться за Вас по-серьезному.

Не, не стоит. Я очень хлипкий, очкастый... Ну типичный математик. Хвататься за меня настоятельно не рекомендую. Можете запросто сломать чего-нибудь...

st256 в сообщении #386412 писал(а):

Вы утаили от народа важное свойство, которое трабуется. Полноту.

...Э-э-э... Простите, какую полноту? Базиса? Обуви? ...Нездоровую?!

Цитата:

Вам придется определиться. Если абстрактное гильбертово пространство, то не имеют смысла выражения , преобразование Фурье и тп.
Если это конкретное пространство функций, то определитесь, на каком интервале, по какой мере.

Вы знаете, все они Гильбертовы пространства одинаковы... Как крашеные блондинки. Кто-то даже утверждает, что их всего одно. Не знали?

Потом. Преобразования Фурье они только для этих (этого) пространства и выдуманы. Вот такой он Фурье, оказался неуниверсальный. Но Бог с ним. Интервал - любой. Допустим, у пространства Котельникова это $]-\infty, \infty[$. Но можно определить пространство и на конечном интервале. Тогда свертка получается циклической. У меня мера определяется областью $\Theta$ , если Вы не поняли.

shwedka в сообщении #386425 писал(а):

Если у Вас конкретное , то означает ли последнее выражение скалярное произведение однои функции и сдвинутой другой.

Угу. Означает.

Цитата:

Придется выбрать. Конечный носитель и носитель, имеющий меру ноль, -- это сильно разные понятия.

Pardon? Вы о чем? Какой носитель?? Какой ноль???

Цитата:

Хотелось бы видеть хотя бы один нетривиальный пример, когда сподобились.

Я не совсем понял, пример чего? Если пространства Гильберта со сверткой и дельта-вектором, то я же говорил см. в конце. Это типичное $L_2$ функций с финитным спектром. Или я Вас не понял?

Цитата:

Опять же, хотя бы один нетривиальный пример.

Еще раз см. конец статьи. В выше означеном пространстве это банальный $\frac {\sin t} {t} $

Цитата:

мне здесь непонятно, что такое

Это скаляр. Это коэффициент разложения в обобщенный базис Фурье ${n_i(t)}$. А находится он так:$ i$-тый коэффициент есть значение $ i$-того члена ряда Фурье (обобщенного, конечно) в точке ноль. Т.е. - $n_i(0)$.

[migmit]

st256 в сообщении #386449 писал(а):

shwedka в сообщении #386412 писал(а):

Вы утаили от народа важное свойство, которое трабуется. Полноту.

...Э-э-э... Простите, какую полноту? Базиса? Обуви? ...Нездоровую?!

Тяжёлый случай.

Попробуйте на досуге всё-таки посмотреть ПРАВИЛЬНОЕ определение гильбертова пространства.

st256 в сообщении #386449 писал(а):

Вы знаете, все они Гильбертовы пространства одинаковы... Как крашеные блондинки. Кто-то даже утверждает, что их всего одно. Не знали?

Не, не знали. Спасибо, что просветили. А то мы думали, что двумерное г.п. чем-то отличается от одномерного. А тут приходите вы и объясняете, что они одинаковые. Низкий вам поклон.

Дальше пока не имеет смысла.

[zhoraster]

st256, умерьте гонор. Вам спокойно задают конкретные вопросы, и Вы, пожалуйста, отвечайте без этого гримасничания и юродствования. Не знаете, что такое полнота пространства -- воспользуйтесь поиском, не надо тут делать вид, что все вокруг дураки, а Вы д'Артаньян.

Вы напускаете туману, чтобы заполнить пробелы. Например, вдруг появилась какая-то цикличность. Что такое $\Theta$, нигде не написано. Если это конечная область, то как быть со сдвигами, которые из нее выводят?

Напишите раз и навсегда четко, без всяких там "если сподобились". И пример, который Вы привели, не годится, ведь там бесконечный носитель.