Пространство Минковского - метрическое?

[_Z_]

Как известно, определение метрического пространства включает в себя аксиому тождества:
D(x,y)=0 тогда и только тогда, когда x=y (x,y - точки пространства).
Более точная формулировка найдена мною в книге "Введение в теорию множеств и общую топологию (Александров П. С.)":
Число р(x, х') равно нулю тогда и только тогда, когда х и х' тождественны между собою, т, е. обозначают один и тот же элемент множества X.
В то же время, есть пространство Минковского, в котором метрика такая, что расстояние между точками, лежащими на световом конусе, равно 0 (что интерпретируется, как равенство нулю времени, которое нужно свету на прохождение любого расстояния). Получается противоречие. Точки разные (x<>y), расстояние равно 0, но пространство вроде как метрическое, в нарушении аксиомы тождества и определению. Я что то не понимаю или как?

[paha]

_Z_ в сообщении #383757 писал(а):

В то же время, есть пространство Минковского

Пространство Минковского не является метрическим. Если хотите, то вот Вам теория.

Обобщенным пространством Минковского называется вещественное векторное пространство $V$ вместе с квадратичной формой $B:V\to\mathbb{R}$. В случае, когда форма $B$ положительно определена, получаем метрическое пространство с метрикой $\rho(x,y)=\sqrt{B(x-y)}$. Если форма $B$ имеет сигнатуру $(1,\dim V-1)$, то получаем классическое пространство Минковского.

Я к тому, что "пространство Минковского" -- это векторное пространство $V$ с фиксированной квадратичной формой $B$ указанной сигнатуры. Его группа движений (преобразования Лоренца!) состоит из отображений $L:V\to V$, сохраняющих форму: $B(Lx)=B(x)$.

[_Z_]

Странно все это... Метрический тензор, определяющий метрику есть, а пространство не метрическое. Чего то я видимо не понимаю.

[AD]

Словосочетания "метрический тензор" и "метрическое пространство" происходят из совершенно разных наук, и в этих разных науках означают совершенно разные вещи. Красное море - не море. Метрический тензор - не всегда метрика.

[_Z_]

Хорошо. У пространства Минковского есть метрика? Если нет, то как мерять расстояния (интервал)?

[maxmatem]

Хотя в вики можно найти следующее:
Пространством Минковского также иногда называют метрическое пространство которое получается из конечномерного нормированного пространства с функцией расстояния
$\[ d(x;y) = ||y - x|| \]$
Псевдоевклидова метрика в пространстве Минковского, определяемая приведенной выше формулой для интервала, называется метрикой Минковского или лоренцевой метрикой

[AD]

_Z_ в сообщении #383870 писал(а):

У пространства Минковского есть метрика?

"Есть метрика" в том точном смысле "задан метрический тензор". "Нет метрики" в том точном смысле, что этот тензор не определяет никакую метрику, подходящую под определение понятия "метрическое пространство". Вас путает двусмысленность слова "метрика".

maxmatem в сообщении #383873 писал(а):

Пространством Минковского также иногда называют метрическое пространство которое получается из конечномерного нормированного пространства с функцией расстояния
$\[ d(x;y) = ||y - x|| \]$
Псевдоевклидова метрика в пространстве Минковского, определяемая приведенной выше формулой для интервала, называется метрикой Минковского или лоренцевой метрикой

Бред какой-то

[maxmatem]

AD
Сам ради интереса в вики посмотрел и тоже немного удивился

-- Вс дек 05, 2010 17:49:43 --

Цитата:

Бред какой-то

Но это же не я придумал
Так в википедии написано.

[AD]

А, ну понятно, Вы криво процитировали, и получился ну совсем бред, а так ничего, хотя все равно странно. Ссылка на обсуждаемое.
Там вот это N.B. - оно отдельно от остального текста, не надо его подклеивать было, смысл исказился.

[maxmatem]

да кажется понял в чём "кривизна", ну да ладно.

-- Вс дек 05, 2010 17:51:40 --

да кажется понял в чём "кривизна", ну да ладно.

[Munin]

"Метрика" Минковского называется метрикой только на физическом жаргоне. По Математической энциклопедии это в лучшем случае псевдометрика (поскольку аксиома тождества не удовлетворена), а для реальной работы достаточно, как указывает paha, считать её квадратичной формой и всё. Топологию она не определяет.

Иваненко и Сарданашвили ("Гравитация") дают определение пространства Минковского как четырёхмерного аффинного пространства, снабжённого псевдоевклидовой метрикой $\eta_{\mu\nu}=\mathop{\mathrm{diag}}(+1,-1,-1,-1),$ и наделённого топологией евклидова пространства.

[VAL]

AD в сообщении #383866 писал(а):

Красное море - не море. Метрический тензор - не всегда метрика.

(Оффтоп)

Господь с ней, с метрикой. Но чем Вам Красное море не угодило?!

[paha]

_Z_ в сообщении #383859 писал(а):

Странно все это... Метрический тензор, определяющий метрику есть, а пространство не метрическое

Ваш тензор -- это всего лишь симметрический тензор, ничего более

-- Вс дек 05, 2010 17:59:36 --

Munin в сообщении #383881 писал(а):

Топологию она не определяет.

а вот это Вы поспешили:) кажется, где-то тут было обсуждение, что непрерывность отображения $B:V\to\mathbb{R}$ вкупе с тем, что $V$ -- л.т.п., определяют топологию

-- Вс дек 05, 2010 18:01:03 --

VAL в сообщении #383893 писал(а):

AD в сообщении #383866 писал(а):
Красное море - не море. Метрический тензор - не всегда метрика.

(Оффтоп)
Господь с ней, с метрикой. Но чем Вам Красное море не угодило?!

морская свинка -- не морская и не свинья... женщина-математик -- аналогично:)

[_Z_]

Munin в сообщении #383881 писал(а):

"Метрика" Минковского называется метрикой только на физическом жаргоне. По Математической энциклопедии это в лучшем случае псевдометрика (поскольку аксиома тождества не удовлетворена), а для реальной работы достаточно, как указывает paha, считать её квадратичной формой и всё. Топологию она не определяет.

Иваненко и Сарданашвили ("Гравитация") дают определение пространства Минковского как четырёхмерного аффинного пространства, снабжённого псевдоевклидовой метрикой $\eta_{\mu\nu}=\mathop{\mathrm{diag}}(+1,-1,-1,-1),$ и наделённого топологией евклидова пространства.

Вот значит как. Теперь более понятно. Правда не совсем понял про топологию. Есть у него она или нет? И получается в вики написано не правильно про метрику?

[paha]

_Z_ в сообщении #383913 писал(а):

И получается в вики написано не правильно про метрику?

не читайте вики как первоисточник, используйте ее как справочник

например, знали когда-то определение, но вылетело из головы -- полезайте в вики... если там совершенно не то, что Вам помнилось -- надо искать книжки, ничего не поделаешь:(