Пример несуммируемого преобразования Фурье

[Alexiii]

Здравствуйте, люди добрые!

Коротко о главном:
требуется подобрать несколько примеров функций из пространства $L_1$,преобразование Фурье ( $\hat{f(x)}=\int\limits_{R} f(t)e^{ixt}dt$) которых уже не $L_1$-вская функция!

Есть вариант, указанный в книге Фомина, но там все сводится к доказательству того, что модуль кардинального синуса ($\left|\frac{sinx}{x}\right|$) - функция несуммируемая(расходящаяся) на всей числовой прямой. Как это опрятно доказать? Однако, остается вопрос - подобрать и другие примеры!


Надеюсь, у Вас будет, что предложить!

[AD]

Alexiii в сообщении #383277 писал(а):

модуль кардинального синуса ($\left|\frac{sinx}{x}\right|$) - функция несуммируемая(расходящаяся) на всей числовой прямой. Как это опрятно доказать?

Ну это штука стандартная вроде. Просто оценить интеграл снизу гармоническим рядом.

Alexiii в сообщении #383277 писал(а):

Однако, остается вопрос - подобрать и другие примеры!

Зачем? Ясно, что принципиально другого ничего не будет. Преобразование Фурье суммируемой всегда непрерывно и стремится к нулю на бесконечности, и есть формула обратного преобразования Фурье, в которой просто интеграл как главное значение понимается, и тогда он мол всегда существует. То есть принципиально все эти примеры достаточно похожи.