Составить уравнение линии...

[gris]

Во-первых, левую часть я бы по модулю взял (либо написал $\pm$ в правой части. В данном случае по умолчанию берётся абсолютная величина разности. Хотя, если порядок точек важен, то останется половинка кривой.

Переход к каноническому уравнению описан в любом учебнике по аналитической геометрии. Вам понадобятся понятие эксцентриситета, фокального расстояния.

Приём стандартный - переносим один из радикалов в правую часть и возводим уравнение в квадрат. После приведения подобных и уединения единственного оставшегося радикала повторяем процедуру.

[lifedancer]

Спасибо, значит расчёт такой:

$$\sqrt{(x-1)^2 +(y-5)^2} - \sqrt{(x-1)^2 +(y+3)^2} =4 \sqrt 3$$

$$\sqrt{(x-1)^2 +(y-5)^2} = \sqrt{(x-1)^2 +(y+3)^2} +4 \sqrt 3$$

Возводим уравнение в квадрат, правая часть имеет вид $a^2+2ab+b^2$

$$\ (x-1)^2 +(y-5)^2 = (x-1)^2 +(y+3)^2 -8 \sqrt 3 \sqrt{(x-1)^2 +(y+3)^2} +48$$

Сокращаем $(x-1)^2$

$$\ (y-5)^2 = (y+3)^2 -8 \sqrt 3 \sqrt{(x-1)^2 +(y+3)^2} +48$$

Вновь переносим радикал в левую часть

$$\ 8 \sqrt 3 \sqrt{(x-1)^2 +(y+3)^2} = (y+3)^2 -(y-5)^2 +48$$

Снова возводим в квадрат

$$\ 192 (x-1)^2 +192(y+3)^2 = (y+3)^4 -(y-5)^4 -2(y+3)^2 (y-5)^2 +96(y+3)^2 -96(y-5)^2 +2304$$

Переносим $192(y+3)^2$ в правую часть

$$\ 192 (x-1)^2 = (y+3)^4 -(y-5)^4 -2(y+3)^2 (y-5)^2 -96(y+3)^2 -96(y-5)^2 +2304$$

Что дальше делать с этим ужасом?

[ИСН]

После слов "Вновь переносим радикал в левую часть" надо было упростить, а только потом - - -

[TOTAL]

lifedancer в сообщении #382705 писал(а):

Что дальше делать с этим ужасом?

До ужасов доводть не надо.
$\sqrt{(x-1)^2 +(y-5)^2} - \sqrt{(x-1)^2 +(y+3)^2} =4 \sqrt 3$
$R_1-R_2=4 \sqrt 3$
$-16y+16=4 \sqrt 3(R_1+R_2)$
$R_1= Blabla
$R_1^2= Blabla^2$

[lifedancer]

Действительно.. Спасибо)

$$\ 8 \sqrt 3 \sqrt{(x-1)^2 +(y+3)^2} = (y+3)^2 -(y-5)^2 +48$$

$$\ 8 \sqrt 3 \sqrt{(x-1)^2 +(y+3)^2} = y^2+6y+9-y^2+10y-25+48$$

Получаем

$$\ 8 \sqrt 3 \sqrt{(x-1)^2 +(y+3)^2} = 16y+32=16(y+2)$$

или

$$\ \sqrt 3 \sqrt{(x-1)^2 +(y+3)^2} = 2(y+2)$$

Возводим в квадрат

$$\ 3((x-1)^2 +(y+3)^2) = 4(y+2)^2$$

или

$$\ (x-1)^2 +(y+3)^2 = (y+2)^2 4/3$$

далее

$$\ (x-1)^2 = (4(y+2)^2 /3)-(y+3)^2=(4(y+2)^2 -3(y+3)^2 )/3 $$

Считая правую часть

$$4(y+2)^2 -3(y+3)^2 = 4y^2+16y+64-3y^2-18y-27=y^2-2y-37$$

получаем

$$\ (x-1)^2 = (y^2 - 2y-37)/3 $$

Теперь уже лучше:)

-- Чт дек 02, 2010 11:09:04 --

TOTAL в сообщении #382710 писал(а):

lifedancer в сообщении #382705 писал(а):

Что дальше делать с этим ужасом?

До ужасов доводть не надо.
$\sqrt{(x-1)^2 +(y-5)^2} - \sqrt{(x-1)^2 +(y+3)^2} =4 \sqrt 3$
$R_1-R_2=4 \sqrt 3$
$-16y+16=4 \sqrt 3(R_1+R_2)$
$R_1= Blabla
$R_1^2= Blabla^2$

Спасибо, осталось найти учебник, чтобы понять, что Вы написали)

[gris]

Нехорошие числа типа 37 должны навевать подозрения. И - опа - откуда 64???
Проверяйте, выделяйте полный квадрат с $y$

[lifedancer]

Да, 64 это глюк Матрицы..
Итак, считая правую часть

$$(4y^2+16y+16-3y^2-18y-27)/3=(y^2-2y-11)/3=(y^2-2y+1-12)/3=[(y-1)^2/3]-4 $$

Имеем

$$(x-1)^2=\frac{(y-1)^2}{3}-4$$

Или

$$3(x-1)^2=(y-1)^2-12$$

Достаточно красиво, но я снова не знаю куда дальше его двигать)

[gris]

уже почти каноническое уравнение. Осталось кое-что перенести влево и разделить, приведя знаменатели к виду $a^2$ и $b^2$, назвать кривульку и её параметры

[lifedancer]

Хорошо, движемся к каноническому виду

$$3(x-1)^2-(y-1)^2=-12$$

$$\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(y-1)^2}{12}=-1$$

Как придти к $x^2$ и $y^2$?
Или это и есть канонический вид этого уравнения?

$$-\frac{3(x-1)^2}{12}+\frac{(y-1)^2}{12}=1$$

[gris]

Уже горячо!
$4=2^2$
$12=?^2$

А это уже практически канонически. Ну ещё параллельный перенос заменой переменных: $x_1=x-1$ и $y_1=...$

Хотя для построения кривой лучше оставить старые переменные

Преподаватель может, правда, потребовать Истинно канонического вида, когда справа плюс 1. Но это легко достигается поворотом на $90^{\circ}$ с помощью взаимного переименования координат.

Мы с Вами отвечаем друг другу вразнобой

[lifedancer]

С параллельным переносом у нас получится

$$-\frac{3x_1^2}{12}+\frac{y_1^2}{12}=1$$

Кривулька зовётся гиперболой и её даже можно нарисовать)
Жаль, ответ не выдержал проверки) Расстояние не $4 \sqrt3$, работаем дальше

[gris]

Вот же Вы какой упрямый! Я бы довернул. $x_1=y-1; y_1=x-1$.

$$\frac{x_1^2}{(2\sqrt 3)^2}-\frac{y_1^2}{2^2}=1$$

"Кривулька зовётся гиперболой и её даже можно нарисовать" - это Вы правы. Осталось найти центр, асимптоты и прочие фокусы.

[lifedancer]

Нашёл ошибку в начале решения, но она почему-то на результат никак не повлияла. Проверить почему-то не получается, пересчитываю.
Кстати можно обойтись без модуля, в обоих вариантах решение приводит к одному x

[Алексей К.]

gris в сообщении #382806 писал(а):

Но это легко достигается поворотом на $90^{\circ}$ с помощью взаимного переименования координат.

gris, а это точно поворот?

[gris]

Алексей К.
Это точно не поворот, а отражение, что не меняет. По-моему. Просто поворот - это же с корнями из 2, запутаться можно. Потом неизвестно, что требует преподаватель. Обычно допускаются движения системы координат, то есть отражения виллду.

Вообще, я бы начал рисовать гиперболу по определению, по заданным точкам и разности расстояний. Оси параллельны осям координат, центр очевиден, вершины намечаются. Ну прикинуть асимптоты подстановкой далёкого значения.
Но зачем? Лучше проверить и найти ошибку. Я их всегда делаю.