Найти углы треугольника.

[Cute]

Задача.
В треугольнике $ABC$ проведена высота $AA_1$ и медиана $ BB_1$, $O$ - точка их пересечения. Луч $OC$ является биссектрисой угла $A_1OB_1$.
Найти углы треугольника $ABC$.

Вот такая задача. Ясно, что её условию удовлетворяет равносторонний треугольник $ABC$.
Есть предположение, что никакой другой треугольник, кроме правильного, не удовлетворяет условию, но обосновать это мне не удаётся.
Натолкните, пожалуйста, на мысль.

[Sasha2]

Начните с того, что соедините точки $A_1$ и $B_1$, а также вспомните, что в любом прямоулольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы.

[Cute]

Sasha2 в сообщении #380595 писал(а):

Начните с того, что соедините точки $A_1$ и $B_1$, а также вспомните, что в любом прямоулольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы.

Так. Пусть $O_1$ - середина отрезка $CO$, тогда $O_1$ - центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника $COA_1$. Углы $A_1OC$ и $B_1OC$ являются вписанными в эту окружность и равны между собой. Значит, хорды, на которые опираются эти вписанные углы должны быть равны. Одна из хорд - это отрезок $CA_1$. Доказать бы, что другая хорда - это $CB_1$.
Так. И ещё бы я провел прямую $O_1K$ перпендикулярно стороне $BC$, где $K$ принадлежит $BC$. Точка $B_1$ - это точка пересечения постороенного перпендикуляра $O_1K$ и прямой $AC$.
$CK=A_1K$ (по теореме Фалеса). Выходит, что отрезок $B_1K$ является одновременно и высотой, и медианой треугольника $CB_1A_1$. А, значит, этот треугольник равнобедренный. $CB_1=B_1A_1$.

[Sasha2]

Да там же все углы очевидны.
Вот последовательность равных углов: $\angle OB_1A_1, \angle OA_1B_1, \angle OAB_1, \angle OCB_1, \angle OCA_1$.
Дальше уже нет смысла писать. Очевидно и то, что OC биссектриса угла C

[Cute]

Sasha2 в сообщении #380618 писал(а):

Да там же все углы очевидны.
Вот последовательность равных углов: $\angle OB_1A_1, \angle OA_1B_1, \angle OAB_1, \angle OCB_1, \angle OCA_1$.
Дальше уже нет смысла писать. Очевидно и то, что OC биссектриса угла C

Непонятно, почему $\angle OB_1A_1 = \angle OA_1B_1$ ??? Откуда это следует?

[Sasha2]

Ну хорошо, если сразу не видно, то можно несколько упростить.
Вот давайте рассмотрим два треугольника $\triangle AB_1O$ и $\triangle CB_1O$$.
Очевидно, что эти два треугольника имеют равные площади, так как их основания равны ($AB_1=CB_1$) и у них одна и та же высота, каковой является перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на $AC$.
А далее пользуясь тривиальной формулой площади треугольника как полупроизведение двух его сторон на синус... ну и так далее, получаем, что углы при вершине $B_1$ прямые. Ну дальше уже стандартный танец с углами должен помочь, хотя и так все вроде там должно быть равно между собой очень тривиально и наверно показано может быть целой кучей способов.

[TOTAL]

Sasha2 в сообщении #380657 писал(а):

А далее пользуясь тривиальной формулой площади треугольника как полупроизведение двух его сторон на синус... ну и так далее, получаем, что углы при вершине $B_1$ прямые.

Почему они прямые?

[Sasha2]

Площади этих двух труегольников равны.
Основания их равны, высоты их тоже равны.
Ну а следовательно основание их общей высоты совпадает с точкой $B_1$.

[TOTAL]

Sasha2 в сообщении #380673 писал(а):

Площади этих двух труегольников равны.
Основания их равны, высоты их тоже равны.
Ну а следовательно основание их общей высоты совпадает с точкой $B_1$.

Не совпадает. Отнесите т. О куда угодно.

[Cute]

Sasha2 в сообщении #380673 писал(а):

Площади этих двух труегольников равны.
Основания их равны, высоты их тоже равны.
Ну а следовательно основание их общей высоты совпадает с точкой $B_1$.

Sasha2, по вашим рассуждениям получается, что любой треугольник является равнобедренным!

[neo66]

Cute в сообщении #380565 писал(а):

Задача.В треугольнике $ABC$ проведена высота $AA_1$ и медиана $ BB_1$, $O$ - точка их пересечения. Луч $OC$ является биссектрисой угла $A_1OB_1$.
Найти углы треугольника $ABC$.

Задача недоопределена. По крайней мере, угол $C$ треугольника $ABC$ может быть произвольным острым углом.

[TOTAL]

neo66 в сообщении #380688 писал(а):

Cute в сообщении #380565 писал(а):

Задача.В треугольнике $ABC$ проведена высота $AA_1$ и медиана $ BB_1$, $O$ - точка их пересечения. Луч $OC$ является биссектрисой угла $A_1OB_1$.
Найти углы треугольника $ABC$.

Задача недоопределена. По крайней мере, угол $C$ треугольника $ABC$ может быть произвольным острым углом.

Не может быть произвольным. Например, видно, что не может быть очень маленьким.

[neo66]

Ну, хорошо, любой, острый больший $\frac \pi 4$.

[TOTAL]

neo66 в сообщении #380692 писал(а):

Ну, хорошо, любой, острый больший $\frac \pi 4$.

Из таких тоже не любой.

[neo66]

Странно. А контрпример можете привести?