Вариационные принципы в гидродинамике

[Ales]

Насколько применимы в гидродинамике вариационные принципы?
Я пытаюсь придумать Лагранжиан для уравнений Эйлера для модели движения идеального сжимаемого изотермического газа ($\frac P {\rho}=const$),
но ничего не выходит.
С одной стороны я нигде не видел Лагранжианы для гидродинамики.
С другой стороны вроде-бы в физике вариационный принцип обычно на первом месте.
Или в гидродинамике это не так?

Или эта модель такая плохая, но она ведь не хуже чем несжимаемый газ или жидкость.

[myhand]

Не стоит придумывать хорошо известные вещи. Посмотрите, например, вот (особенно часть 4, это Ваш случай).

[Munin]

А почему в учебниках этого нет? :-)

[myhand]

Это смотря в каких учебниках. Знаю, что точно есть в книжке Хокинга и Эллиса "Крупномасштабная структура пространства-времени", гл.3 (там, естественно, релятивистский случай).

[Ales]

myhand в сообщении #379968 писал(а):

Не стоит придумывать хорошо известные вещи. Посмотрите, например, вот (особенно часть 4, это Ваш случай).

Спасибо. Читаю.

-- Ср ноя 24, 2010 19:00:41 --

К сожалению это не учебник и не все понятно.

Написано: сохранение циркуляции скорости по жидкому контуру (теорема Кельвина) равносильно существованию скалярной функции, переносящейся вместе с жидкостью. Почему?

[myhand]

Ales в сообщении #380002 писал(а):

Написано: сохранение циркуляции скорости по жидкому контуру (теорема Кельвина) равносильно существованию скалярной функции, переносящейся вместе с жидкостью. Почему?

Ну вот для таких вещей как раз логично заглянуть в учебник. ЛЛ т.VI, параграф 8.

[Ales]

myhand в сообщении #380015 писал(а):

Ales в сообщении #380002 писал(а):

Написано: сохранение циркуляции скорости по жидкому контуру (теорема Кельвина) равносильно существованию скалярной функции, переносящейся вместе с жидкостью. Почему?

Ну вот для таких вещей как раз логично заглянуть в учебник. ЛЛ т.VI, параграф 8.

Теорему Томсона и то, что ротор переносится потоком я знаю. Но из этого не следует существование скаляра.
Разве что на плоскости, где сохраняется площадь, ротор и будет таким скаляром.
Но в реальном пространстве я не понимаю почему так и в ЛЛ параграф 8 такого нет.
Может авторы заблуждаются?

[myhand]

Извините, а $\oint \vec v d\vec l$ Вам не кажется скаляром?

[Ales]

myhand в сообщении #380038 писал(а):

Извините, а $\oint \vec v d\vec l$ Вам не кажется скаляром?

Но это ведь функционал на замкнутых кривых. А скаляр - функция от пространства и времени.

[Ales]

Мне кажется, что в этой работе речь идет о плоских течениях, но нигде это не фиксировано.
Там, например поле скоростей обязательно представимо в виде суммы: $v=\nabla \phi + \alpha \nabla \mu$.
Значит его ротор $rotv=\nabla \alpha \times \nabla \mu$.
Получается что линии ротора в любой момент времени совпадают с линиями пересечений поверхностей уровня $\alpha, \mu$ и следовательно замкнуты.
Ну не бывает так для ротора произвольного поля.

-- Ср ноя 24, 2010 22:51:35 --

Мне интересны течения в пространстве.
Полагаю, что там нет никаких вариационных принципов.
Нет функционала, из экстремальных свойств которого следовали бы уравнения Эйлера.

[myhand]

Ales в сообщении #380094 писал(а):

Мне кажется, что в этой работе речь идет о плоских течениях, но нигде это не фиксировано.

Вам это кажется.

Ales в сообщении #380094 писал(а):

(1) Там, например поле скоростей обязательно представимо в виде суммы: $v=\nabla \phi + \alpha \nabla \mu$.
Значит его ротор $rotv=\nabla \alpha \times \nabla \mu$.
(2) Получается что линии ротора в любой момент времени совпадают с линиями пересечений поверхностей уровня $\alpha, \mu$ и следовательно замкнуты.
(3) Ну не бывает так для ротора произвольного поля.

(1) Верно.
(2) А с чего вообще линии пересечения поверхностей уровня $\alpha, \mu$ должны быть замкнуты? Вобщем, поставим рядом с этой декларацией жирный знак вопроса.
(3) А с чего вы взяли, что поле произвольное? Оно описывает течение ид. сжимаемой жидкости, причем при условии заданной зависимости $p(\rho)$ (в этом случае также справедлива теорема Томсона).

Ales в сообщении #380094 писал(а):

Полагаю, что там нет никаких вариационных принципов.

Не полагайте глупости. Сложно понять Ландау - возьмите другие учебники по гидродинамике. Лэмба, например. Мож тут еще что-то более современное посоветуют.

[Ales]

myhand в сообщении #380566 писал(а):

А с чего вы взяли, что поле произвольное?

Можно ведь начинать с любого поля скоростей и любого распределения плотности.
Нет никаких ограничений на начальные условия. Потом уже динамика развивается по уравнениям Эйлера.

myhand в сообщении #380566 писал(а):

Не полагайте глупости.

Я имею в виду экстремальный принцип из которого бы следовали сразу два уравнения:
уравнение для движения и уравнение неразрывности.
Можно придумать лагранжиан и получить уравнение движения, но уравнение неразрывности никак не получишь.
И в самом деле: в механике всегда четное число переменных: координаты и импульсы, а здесь - нечетное, еще добавляется плотность.

-- Пт ноя 26, 2010 12:18:40 --

myhand в сообщении #380566 писал(а):

(2) А с чего вообще линии пересечения поверхностей уровня $\alpha, \mu$ должны быть замкнуты? Вобщем, поставим рядом с этой декларацией жирный знак вопроса.

Не обязательно, конечно, но если эти поверхности сами замкнуты - то да.

Другое дело, что локально линии любого поля лежат на пересечении поверхностей уровня.
И в общем виде локально поле выглядит как $h(x,y,z) \cdot \nabla \alpha \times \nabla \beta$.
Если оно еще и ротор то формула такая: $h(\alpha,\beta) \cdot \nabla \alpha \times \nabla \beta$.
Причем эти координаты $\alpha,\beta$ произвольны.
Может быть, можно выбрать такие, чтобы убрать это $h(\alpha,\beta) $.

[Ales]

Даже лучше так: любая ли дифференциальная форма первого порядка локально представима в виде $udx+vdy+wdz=gdf+dh$?

-- Пт ноя 26, 2010 13:13:41 --

Можно убрать $w$, интегрируя по $z$ и за счет изменения $u,v$.
$udx+vdy=gdf+dh$??

[myhand]

Ales в сообщении #380686 писал(а):

Можно ведь начинать с любого поля скоростей и любого распределения плотности.
Нет никаких ограничений на начальные условия.

В этом смысле, да, конечно. Осталось нормально сформулировать Ваше утверждение (2) и доказать его.

Ales в сообщении #380686 писал(а):

Я имею в виду экстремальный принцип из которого бы следовали сразу два уравнения

А почему не сразу десять?

Ales в сообщении #380686 писал(а):

Можно придумать лагранжиан и получить уравнение движения

Более того, "все уже украдено до нас" - лагранжиан Вам предъявили в явном виде. Из него "следует" в т.ч. и уравнение неразрывности. Что не так?

[Ales]

Оказалось, что действительно локально любое поле представимо в виде: $v=\nabla \phi + \alpha \nabla \mu$.

-- Пт ноя 26, 2010 16:18:26 --

myhand в сообщении #380731 писал(а):

Более того, "все уже украдено до нас" - лагранжиан Вам предъявили в явном виде. Из него "следует" в т.ч. и уравнение неразрывности. Что не так?

Буду разбирать и думать.
Пока снимаю возражения.