Численное интегрирование в С++.

[The Last Samurai]

Пропустил эту тему ,подскажите хотя бы основные положения для нахождения определенного интеграла с заданной точностью методом прямоугольников,трапеций и симпсона.

[caxap]

Фихтенгольц, Пискунов... Вобщем, почти любой учебник по матану.

[ewert]

caxap в сообщении #375857 писал(а):

Фихтенгольц, Пискунов... Вобщем, почти любой учебник по матану.

Не факт. Пискунов -- сильно не факт (что касается именно "заданной точности"), в Фихтенгольца лезть лень, но тоже сильно сомневаюсь.

Стандартный способ практического оценивания погрешности -- это правило Рунге. Т.е. надо вычислить приближённое значение интеграла по одной из этих формул сначала с некоторым шагом, потом с вдвое меньшим, потом с ещё вдвое меньшим и т.д., пока разность последних двух приближений не станет меньше требуемой точности. Вот тогда и настанет практическое счастье.

(Т.е. практически, хоть и не теоретически, надёжное -- если требуемая точность достаточно высока. Там есть ещё ньюанецы в знаменателе, зависящие от выбора формулы и улучшающие оценку, но они не очень принципиальны.)

[The Last Samurai]

ну а как это будет выглядеть в явном виде? хотя бы аналитически, а не на языке си

[Yuri Gendelman]

Топикстартеру, судя по его вопросам, нужен учебник по численным методам матанализа. Книг на эту тему выпущено достаточно много, например (все есть в электронном виде):
- Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы
- Б.П.Демидович, И.А.Марон, Э.З.Шувалова. Численные методы анализа
- Н.Н.Калиткин. Численные методы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы
- Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения):

Можно также свободно скачать и использовать Numerical Recipes in C

[The Last Samurai]

спасибо! а можете помочь найти именно графическую интерпретацию этих методов? вот н-р метод ньютона (касательных) понял только после рисунка

[lim0n]

The Last Samurai в сообщении #376910 писал(а):

можете помочь найти

На русском языке.
На английском языке картинок больше.

Кстати, Симпсон и Ньютон - имена собственные.

[ewert]

The Last Samurai в сообщении #376910 писал(а):

можете помочь найти именно графическую интерпретацию этих методов?

Любая (интерполяционная) квадратурная формула графически интерпретируется одинаково: через точки на графике функции, участвующие в формуле, проводится график многочлена соответствующей степени и находится площадь под этим графиком. В формуле прямоугольников проводится горизонтальная прямая через одну точку, в формуле трапеций -- прямая через две точки, в формуле Симпсона -- парабола через три и т.д.

Только практической пользы от этой интерпретации -- совершенно никакой. Разве что для прямоугольников.

[ngry]

Цитата:

Только практической пользы от этой интерпретации -- совершенно никакой. Разве что для прямоугольников.

Отэта нинада, см пользу графической интерпретации: http://demonstrations.wolfram.com/GaussianQuadrature/

[ewert]

ngry в сообщении #379754 писал(а):

Отэта нинада, см пользу графической интерпретации: http://demonstrations.wolfram.com/GaussianQuadrature/

Во-первых, это графическая не интерпретация, а иллюстрация. Во-вторых, конкретно эта иллюстрация вполне бессмысленна: показано, что на быстро меняющихся функциях формула неточна, но это всем ежам заранее и безо всяких картинок понятно, причин же неточности картинки никак не раскрывают.

[The Last Samurai]

а как в программе учитывать вариации аппроксимации (н-р в пряоугольниках) там
Top-left corner approximation ,Midpoint approximation ,Top-right corner approximation ?

[alien308]

Формулы интегрирования по левым, правым и средним прямоугольникам -- это разные (немного) методы интегрирования. При конкретном вычислении используется одна из них.