условная вероятность - невероятные трудности

[spyphy]

Сначала сформулирую задачу как есть (возможно, она уже ранее встречалась, но все же):
Первый студент (назовем его X) может ответить на вопрос экзаменатора с вероятностью p1,

второй (Y) - с вероятностью p2. Они заходят в аудиторию, выбирая порядок с помощью

бросания монеты. Первый по порядку студент смог ответить на вопрос. Какова вероятность,

что второй по порядку также ответит.

Пробую решать:
Ну здесь у меня поначалу возникла проблема что взять за гипотезы... Вроде так:
H1 - студент X идет 1-ым (стало быть Y - 2-ым);
H2 - студент Y идет 1-ым (а тогда X - 2-ым);
События:
A - первый по порядку студент смог ответить на вопрос,
B - второй по порядку студент смог ответить на вопрос.
Вообще говоря, надо найти P(B|A), но напрямую как-то не получается.

$ P(A|H1) = p1, P(A|H2) = p2 $,
$ P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) $;
- всё замечательно находится!
Так же легко находится P(H1|A) и P(H2|A).
Но что дальше???
Вот здесь у меня в голове возникает весьма мудреная формула
$ P(B|A) = P(H1|A)*P(A|H2) + P(H2|A)*P(A|H1) $
Выглядит весьма подозрительно, таких раньше не встречал, так что если чего не так,

исправте.

Toucan:
spyphy, замечание за дублирование темы. Дубликат удалён.

[fatra]

Нужно использовать формулу Бейеса, в любом учебнике есть.

[spyphy]

fatra в сообщении #379146 писал(а):

Нужно использовать формулу Бейеса, в любом учебнике есть.

Ха, спасибо за подсказку. Это я и сам прекрасно знаю. С ее помощью я уже нашел P(H1|A) и P(H2|A), но вопрос в том, как из этого получить искомую вероятность? Или же я не верно взял гипотезы H1 и H2?

-- Пн ноя 22, 2010 20:55:27 --

Какой-то у меня глюк в первом сообщении с переносом, поэтому повторю еще раз условие задачи:

Первый студент (назовем его X) может ответить на вопрос экзаменатора с вероятностью p1, второй (Y) - с вероятностью p2. Они заходят в аудиторию, выбирая порядок с помощью бросания монеты. Первый по порядку студент смог ответить на вопрос. Какова вероятность, что второй по порядку также ответит.

[faruk]

spyphy в сообщении #379154 писал(а):

Первый по порядку студент смог ответить на вопрос. Какова вероятность, что второй по порядку также ответит.

А какая связь?

[fatra]

По определению условной вероятности $P(B|A)=P(AB)/P(A)$
$P(AB)=p1*p2$
$P(A)$ найти по формуле полной вероятности с гипотезами H1 и H2.
Вроде правильно.

[spyphy]

fatra в сообщении #379178 писал(а):

$P(AB)=p1*p2$

у меня только в этом сомнения могли бы возникнуть... Но похоже да, верно. Тогда формула Байеса здесь ни причем получается, всё гораздо проще.

[Alexey1]

Используйте формулу полной вероятности в следующем виде.
$X$ - первый студент ответил на вопрос,
$Y$ - второй студент ответил на вопрос,
$A$ - первым вошёл студент $A$,
$B$ - первым вошёл студент $B$.
Тогда получаете
$P(Y|X)=P(YA|X)+P(YB|X)=P(Y|XA)P(A|X)+P(Y|XB)P(B|X)$.

[spyphy]

Alexey1 в сообщении #379251 писал(а):

Используйте формулу полной вероятности в следующем виде.

Однако задача заключается не в том, чтобы расписать искомую вероятность в максимально запутанно виде, а чтобы найти ее в виде числа.
Как тогда вычислить P(Y|XA)?

[Alexey1]

spyphy в сообщении #379259 писал(а):

Как тогда вычислить P(Y|XA)?

Словами скажите, что эта вероятность означает и сразу станет понятно.

[spyphy]

P(Y|XA) - "вероятность того, что 2-ой студент ответил на вопрос, при условии, что 1-ым вошел студент А и что он же ответил на вопрос".
Я немного запутался, что меняет информация о том, что "он ответил на этот вопрос"... По-моему, так $ P(Y|XA)=P(Y|A)=p2 $, или я не прав?...

[Alexey1]

Да, эту вероятность и вычислять не надо.

[spyphy]

Потрясающе, в таком случае ваша формула в точности совпадает с формулой, придуманной мною в первом вообщении (тока в других обозначениях): $ P(B|A) = P(H1|A)*P(A|H2) + P(H2|A)*P(A|H1) $.
Забавно, что два предложенных способа (этот и по определению условной вероятности) дают разные ответы...

[ewert]

fatra в сообщении #379178 писал(а):

По определению условной вероятности $P(B|A)=P(AB)/P(A)$
$P(AB)=p1*p2$
$P(A)$ найти по формуле полной вероятности с гипотезами H1 и H2.
Вроде правильно.

Ну да, и ответ $\dfrac{2p_1p_2}{p_1+p_2}$, а всё остальное непонятно.

[TOTAL]

faruk в сообщении #379160 писал(а):

spyphy в сообщении #379154 писал(а):

Первый по порядку студент смог ответить на вопрос. Какова вероятность, что второй по порядку также ответит.

А какая связь?

Никакой.

[ewert]

TOTAL в сообщении #379449 писал(а):

faruk в сообщении #379160 писал(а):

spyphy в сообщении #379154 писал(а):

Первый по порядку студент смог ответить на вопрос. Какова вероятность, что второй по порядку также ответит.

А какая связь?

Никакой.

А между тем связь очевидна. Представим себя на месте экзаменатора, который знает, что один из студентов умный-умный, а второй тупой-тупой (в зачётке посмотрел), но в лицо их не помнит. Если первый ему ответил, то скорее всего именно он умным-умным и был, и тогда от второго ничего особенно хорошего ожидать уже не приходится. И наоборот.