условная вероятность - невероятные трудности

[spyphy]

fatra в сообщении #379178 писал(а):

А какая связь?

Напишу еще свое пояснение, так как уже успел его набрать, пока увидел предыдущий ответ:
Тот факт, что первый по порядку студент, который вошел, смог ответит на вопрос, говорит в пользу того, что это скорее всего был более подготовленный студент. Следовательно, второй входящий студент, по всей видимости, будет менее подготовленным, а значит шансов у него становиться меньше, чем в случае, если бы мы ничего не знали о результатах ответа первого отвечающего студента.

[ewert]

Кстати, а пусть первый вот именно не ответил. Какова тогда вероятность того, что второй всё-таки ответит?...

[TOTAL]

Первый студент попадает из пистолета в цель с вероятностью 0.2, а второй - с вероятностью 0.3. Вероятность попадания виторым никак не зависит от того, попал ли уже первый. Так и в задаче.

[ewert]

TOTAL в сообщении #379465 писал(а):

Так и в задаче.

Не так. В задаче неизвестно заранее, кто из них первый, а кто второй. Результаты первого выстрела дают некоторую дополнительную информацию, которая и приводит к переоценке вероятностей.

[Gortaur]

Так, кто будет первым - независимо от того, насколько хорошо он ответит (то же самое и про второго). Таким образом, вероятность $\frac{p1+p2}{2}$. При чем тут условность?
Подробнее,
пусть $S_i$ - итый студент. $\xi(S_i) = 1$ с вероятностью $p_i$ и $\xi(S_i) = 0$ с вероятностью $1-p_i$ - индикатор ответа. Теперь, $X_1 \in \{S_1,S_2\}$ - первый зашедший студент, $X_2 = \{S_1,S_2\}\setminus\{X_1\}$ - второй зашедший студент. Нам нужно найти

$$ E[\xi(X_2)|\xi(X_1) = 1] = \frac{1}{2}\cdot (E[\xi(X_2)|\xi(X_1) = 1|H_1] +E[\xi(X_2)|\xi(X_1) = 1|H_2] ) = $$

$$ \frac{1}{2}\cdot (E[\xi(S_2)|\xi(S_1) = 1] +E[\xi(S_1)|\xi(S_2) = 1] ) = \frac{p_1+p_2}{2}. $$

Это потому, что успешность ответа студентов независима.

[ewert]

Gortaur в сообщении #379470 писал(а):

Так, кто будет первым - независимо от того, насколько хорошо он ответит (то же самое и про второго). Таким образом, вероятность $\frac{p1+p2}{2}$. При чем тут условность?
Подробнее,

Подробнее -- это просто жуть какая-то.

Вы отвечаете не на тот вопрос. Действительно, вероятность того, что второй ответит, сама по себе равна $\dfrac{p_1+p_2}{2}$. Но это при условии, что про первый ответ нам ничего не известно. А по условию задачи результат первого опыта -- именно известен. Вот рамках этого уже известного результата и надо пересчитывать вероятность второго.

Ладно, огрубим ситуацию -- возьмём крайний случай. Известно, что Ваня отвечает с нулевой вероятностью, а Петя -- с единичной. Первый из зашедших ответил. Действительно ли вероятность ответить для второго будет равна половинке?...

[Gortaur]

То есть Вы считаете, что Ваня не может ответить на вопрос?

[ewert]

Gortaur в сообщении #379476 писал(а):

То есть Вы считаете, что Ваня не может ответить на вопрос?

Пока речь не об этом. Действительно ли, как Вы утверждали, вероятность повторного успеха будет равна одной второй?...

[Gortaur]

Понимаю, у меня вероятность гипотезы также должна зависеть от исхода первого эксперимента.

[TOTAL]

Цитата:

Сначала сформулирую задачу как есть (возможно, она уже ранее встречалась, но все же): Первый студент (назовем его X) может ответить на вопрос экзаменатора с вероятностью p1, второй (Y) - с вероятностью p2. Они заходят в аудиторию, выбирая порядок с помощью бросания монеты. Первый по порядку студент смог ответить на вопрос. Какова вероятность, что второй по порядку также ответит.

Лучше так сформулировать:

Цитата:

Один из двух студентов может ответить на вопрос экзаменатора с вероятностью p1, а другой - с вероятностью p2. Известно, что выбранный наугад студент смог ответить на вопрос. Какова вероятность, что оставшийся также ответит?

А решать так:

$$\frac{p_1}{p_1+p_2}p_2+\frac{p_2}{p_1+p_2}p_1$$

[spyphy]

Всё в порядке! Все предложенные здесь формулы дали одинаковый ответ (кроме той длиннющей). Я был немного в расчетах ошибся, поэтому у меня не сходилось. Думаю, это полезно иметь несколько способов решения.