Известна ли полная классификация алгебр над R для n=3,4,5,.?

[Scholium]

paha писал(а):

если уж лень руками считать..

Ладно, повторю выкладки формально, которые я делаю. Рассмотрим все алгебры в $\mathbb{R}^3$ с единицей $e_1=1$. Тогда остальные независимые единицы $e_2$ и $e_3$ будут в общем случае удовлетворять системе «уравнений»:

$e_2 e_2 = a_{22}^1 + a_{22}^2 e_2 + a_{22}^3 e_3$
$e_2 e_3 = a_{23}^1 + a_{23}^2 e_2 + a_{23}^3 e_3$
$e_3 e_2 = a_{32}^1 + a_{32}^2 e_2 + a_{32}^3 e_3$
$e_3 e_3 = a_{33}^1 + a_{33}^2 e_2 + a_{33}^3 e_3$

где $a_{i j}^k$ - соответствующий тензор 3-го порядка, вида $(1, 2)$, все коэффициенты которого действительные. Всего 12 чисел. Условия ассоциативности или коммутативности на структурные коэффициенты $a_{i j}^k$ мы не накладываем.

Пусть некоторое семейство неизоморфных $\mathcal{B}_m^3$ алгебр в $\mathbb{R}^3$ состоит из тех алгебр, у которых только $m$ структурных коэффициентов не равно нулю. Очевидно, что $0 \leqslant m \leqslant 12$. Случай $m=0$ означает, что все структурные константы равны нулю. Так что в семейство $\mathcal{B}_0^3$ входит только одна алгебра, которую логично обозначить $\mathbb{P}_3$, по аналогии с «параболической алгеброй» в случае $n=2$.

Далее, рассмотрим семейство алгебр $\mathcal{B}_1^3$. У них только один структурный некоторый коэффициент $a_0$ не равен нулю. Если мы сожмем ось с $e_2$ или $e_3$ в $|a_0|$ раз, то получим $a_0 = \pm 1$. Этот коэффициент может занимать любую из 12-ти позиций. Очевидно, что изоморфными будут алгебры, которые получаются взаимозаменой $e_2$ и $e_3$ или отражением одной из этих единиц. Это даст нам девять неизоморфных алгебр семейства $\mathcal{B}_1^3$. Все они легко описываются. Будут или не будут они коммутативными или ассоциативными, будет следовать уже из условий доказываемых терем или лемм.

Другие значения $m$ будут описывать большее количество неизоморфных алгебр, но более громоздки для исследования. Для этой работы нужно просто настроение . Возможно, некоторые семейства будут пересекаться, это тоже надо будет показать в соответствующих теоремах / леммах.

Я сейчас более занят поиском подобных результатов у «буржуев». Кое-что уже «накопал» . Например,

I.S. Rakhimov и др. «Complete lists of low dimensional complex associative algebras».
Aaron Armour. «The algebraic and geometric classification of four dimensional superalgebras».
T. Danna-Picard и др. «Graphic representations for associative algebras».

paha писал(а):

мысль пришла как общаться с неассоциативными алгебрами: искать в них идеал $I$, порожденный ассоциаторами, т.е. элементами вида $(a,b,c)=(ab)c-a(bc)$. Фактор по этому идеалу ассоциативен, а сам идеал автоматически двусторонний из-за соотношения $a(b,c,d)=(a,b,c)d\,{\rm mod}\,I$

Ну, Вы можете проводить собственные исследования. Дадите ссылку, сошлюсь на Вас .

paha писал(а):

Scholium писал(а):

Другими словами, «структурные теоремы» слишком грубые для конструктивного построения классов неизоморфных алгебр.

ну, это Вы сгоряча... будет время -- напишу как из структурных теорем для ассоциативных алгебр всё получается при $n=2,3$

Было бы очень интересно почитать.

paha писал(а):

Scholium писал(а):

(в данном, двухмерном случае - $\,i, j, \epsilon$).

все-таки $j,\epsilon$ с натяжкой можно назвать "единицами"... Это просто некоторые "канонические" векторы, дополняющие настоящую единицу до базиса в $\mathbb{R}^2$

Вам нравится единицы кватернионов, октав / октанионов или седенионов (в $\mathbb{R}^{16}$) называть "канонические" векторы? Что-то я нигде не встречал такого названия. Так что, по-моему, это вполне полноценные единицы. Я даже думаю найти или доказать «теорему о независимых алгебраических единицах».

[Руст]

Давайте начнем классификацию с размерности 2 с условием ассоциативности степеней.
1) Имеется элемент $x$, что $y=x*x\not =ax$.
Тогда достаточно определить $x*y=y*x=ax+by$, при этом $y*y=(a+b)y+abx$.
1.1 Случай $b=0$. Тогда $x^3=ax$, взяв $x_1=cx,y_1=x_1^2$ получаем $x_1^3=c^2ax$. Это приводит к трем не изоморфным алгебрам
1.1.1. $x,y=x^2, x^3=0, xy=yx=yy=0$.
1.1.2 $x,y=x^2,x^3=x= xy=yx, y^2=y$
1.1.3 $x,y=x^2,x^3=-x=xy=yx,y^2=-y.$
1.2 случай $b\not =0$. Вначале нормируем $b=1$ взяв $x_1=cx$. Тогда $y_1=x_1^2=c^2x^2=c^2y,x_1^3=x_1y_1=y_1x_1=ac^2x_1+bcy_1$, взяв $c=1/b$ получим $b=1$.
Если $a=0$, то получаем не изоморфную предыдущим алгебру $x^2=y,xy=yx=y,y^2=y$.
Если $a\not =0$ возьмем $x_2=x_1+cy_1,y_2=x_2^2,x_2^3=x_2y_2=y_2x_2=ax_1[1+3c+3c^2(a+1)+c^3(1+2a)]+y_1[1+3c(a+1)+c^2(4+5a)+c^3(a^2+3a+1)]$
Всегда можно выбрать с так, чтобы $x_2^3$ было пропорционально или $x_2$ или $y_2$. Т.е. этот случай не дает новых алгебр.
2) Случай, когда квадрат любого элемента выражается через самого элемента.
Тогда их можно нормировать так, что $x^2=ax,y^2=by$, где $a,b$ равны нулю или 1.
2.1 Случай $a=b=0$ дает двумерную алгебру Ли. Их всего два вида.
2.2 Случай $a=1,b=0$. Взяв $(cx+dy)^2=c^2x+cd(xy+yx)=e(cx+dy)\to xy+yx=y,e=c$. В этом случае $y$ единственный элемент (c точностью до пропорциональности) квадрат которого ноль. Можно выбирать х. Пусть $xy=ax+by, x_1=cx+dy, x_1y=c(ax+by)$
Таким образом имеем или $x^2=x,y^2=0,xy=0,yx=-y$ или нормируя получаем
$x^2=x,y^2=0,xy=x,yx=-y$.
2.3 Случай $a=b=1$. Взяв $(cx+dy)^2=c^2x+2cd(xy+dx)+d^2y=e(cx+dy)$. В этом случае, не существует $e=e(c,d)$ ни при каком законе умножения. Т.е. такой алгебры с ассоциативными степенями нет.
Проверяйте классификацию двумерных алгебр с ассоциативными степенями. Тогда следующим шагом будет классификация трехмерных алгебр с ассоциативными степенями (возможно с предварительном случаем алгебр с единицей).

[Xaositect]

Scholium в сообщении #376513 писал(а):

paha писал(а):

Scholium писал(а):

Другими словами, «структурные теоремы» слишком грубые для конструктивного построения классов неизоморфных алгебр.

ну, это Вы сгоряча... будет время -- напишу как из структурных теорем для ассоциативных алгебр всё получается при $n=2,3$

Было бы очень интересно почитать.

Я пока случай двумерных ассоциативных с единицей (те самые $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$)
Пусть есть двумерная ассоциативная алгебра $A$ с единицей над полем $k$. Возможны два случая - $\dim \mathrm{rad} A = 0$ и $\dim \mathrm{rad} A = 1$.

Во втором случае радикал должен быть нулевой алгеброй, т.к. он нильпотентен. Т.е. $\mathrm{rad} A = Z^1_k$(я так нулевую алгебру размерности 1 над $k$ обозначаю) и $A/\mathrm{rad} A = k$. Следовательно, $A = k1 + ke$, где $ke$ - нулевая алгебра, т.е. $e^2 = 0$. (Это вообще очевидно, но если уж доказывать через теоремы, то можно сослаться на теорему Веддербёрна-Мальцева)

В первом случае алгебра полупростая, и, стало быть, рскладывается на простые сомножители. Т.к. $\dim A = 2$, то это либо $k\times k$, либо расширение $K$ поля $k$, степень которого равна 2 (Если такое существует). (Т.к. алгебра с делением имеет размерность $n^2$ над своим центром, варианта некоммутативной алгебры с делением тут нет. Матричных алгебр, разумеется, тоже быть не может)

Хм. Честно говоря, когда начинал писать, думал, что будет сложнее.

Цитата:

paha писал(а):

Scholium писал(а):

(в данном, двухмерном случае - $\,i, j, \epsilon$).

все-таки $j,\epsilon$ с натяжкой можно назвать "единицами"... Это просто некоторые "канонические" векторы, дополняющие настоящую единицу до базиса в $\mathbb{R}^2$

Вам нравится единицы кватернионов, октав / октанионов или седенионов (в $\mathbb{R}^{16}$) называть "канонические" векторы? Что-то я нигде не встречал такого названия. Так что, по-моему, это вполне полноценные единицы. Я даже думаю найти или доказать «теорему о независимых алгебраических единицах».

А как Вы выделяете эти единицы? Почему $i$ или $j$ - единица, а $1+i$ или $1+j$ - нет?

[paha]

Scholium в сообщении #376513 писал(а):

Вам нравится единицы кватернионов

это т.н. "мнимые единицы"... а ту самую нильпотентную $\epsilon$ с трудом можно сюда отнести

[Scholium]

Scholium писал(а):

Далее, рассмотрим семейство алгебр $\mathcal{B}_1^3$. У них только один структурный некоторый коэффициент $a_0$ не равен нулю. Если мы сожмем ось с $e_2$ или $e_3$ в $|a_0|$ раз, то получим $a_0 = \pm 1$. Этот коэффициент может занимать любую из 12-ти позиций. Очевидно, что изоморфными будут алгебры, которые получаются взаимозаменой $e_2$ и $e_3$ или отражением одной из этих единиц. Это даст нам девять неизоморфных алгебр семейства $\mathcal{B}_1^3$. Все они легко описываются. Будут или не будут они коммутативными или ассоциативными, будет следовать уже из условий доказываемых терем или лемм.

Пожалуй, семейство $\mathcal{B}_1^3$ содержит не 9 неизоморфных алгебр, а только 6. Я забыл про сдвиги осей с $e_2$ и $e_3$. Обозначим для простоты $e_2 = i$ и $e_3 = j$. Тогда эти 6 канонических алгебр будут иметь следующие таблицы умножения (с одним ненулевым структурным коэффициентом!):

1-2) $i^2 = \pm 1$, $i j = j i = j^2 = 0$;
3-4) $i^2 = \pm j$, $i j = j i = j^2 = 0$;
5-6) $i j = \pm 1$, $i^2 = j i = j^2 = 0$.

Остальные комбинации структурных констант изоморфны этим, за счет взаимозамены $i$ и $j$, сдвигов и сжатия $i$ или $j$ и отражения $i$ или $j$.

-- Ср ноя 17, 2010 23:32:42 --

Руст писал(а):

Давайте начнем классификацию с размерности 2 с условием ассоциативности степеней.
. . .
Проверяйте классификацию двумерных алгебр с ассоциативными степенями. Тогда следующим шагом будет классификация трехмерных алгебр с ассоциативными степенями (возможно с предварительном случаем алгебр с единицей).

Вы как-то все сильно усложняете. Я полностью стою на классических позициях выражения конечномерных алгебр над полем через структурные алгебраические константы, которые представляют собой трехмерный тензор ранга (1,2). Вот цитата из Р. Пирса:

«Если $F$ - поле и $A$ - некоторое $F$-пространство с базисом $e_1, . . . , e_n$, то структура неассоциативной $F$-алгебры на $A$ определяется заданием произведений

$e_i e_j = \sum_{k=1}^n a_{ij}^k e_k$, $a_{ij}^k \in F$, $1 \leqslant i, j \leqslant n$. (*)

. . . Каждая $n$-мерная $F$-алгебра $A$может быть определена (с точностью до изоморфизма) заданием соответствующих структурных констант $a_{ij}^k$. С другой стороны, произвольный выбор структурных констант не всегда обеспечивает ассоциативность умножения и существование единицы. Кроме того, различные наборы структурных констант могут приводить к изоморфным алгебрам. . .

Непосредственное вычисление . . . показывает, что ассоциативность эквивалентна тому, что структурные константы удовлетворяют следующему соотношению:

$\sum_{r=1}^n a_{ij}^r a_{rk}^s = \sum_{r=1}^n a_{jk}^r a_{ir}^s$, при $1 \leqslant i, j, k, s \leqslant n$ (**)

. . . Обеспечить, чтобы соотношения (*) определяли алгебру с единицей, проще всего, чтобы один из базисных элементов, скажем $e_1$, действовал как единица. Это, очевидно, эквивалентно тому, что

$a_{1j}^k = a_{j1}^k = \delta_{jk}$ при $1 \leqslant j, k \leqslant n$, (***)

где $\delta_{jk}$ - обычный символ Кронекера.»

Соотношения (***) я использую, а соотношения (**) нет. Если Вы делаете наоборот, то хотя бы пусть это будет оформляться в классическом стиле. Иначе Вас очень трудно понять. Если скажем, условие ассоциативности вида (**) для $e_i (e_j e_k) = (e_i e_j) e_k$ Вас не устраивает, то можно выписать аналогичные условия для альтернативности, эластичности, лиевости, йордановости и т.д. Просто в таком стиле это более понятно. Для меня, по крайней мере, .

[Xaositect]

у Руст используется условие ассоциативности степеней (power-associativity): $x^i x^j = x^{i+j}$, где $x^1 = x$, $x^{i+1} = x^i\cdot x$. В характеристике 0 это эквивалентно тому, что $x(xx) = (xx)x,\ (xx)(xx) = x(x(xx))$

[Scholium]

Xaositect писал(а):

Я пока случай двумерных ассоциативных с единицей (те самые $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$)
Пусть есть двумерная ассоциативная алгебра $A$ с единицей над полем $k$. Возможны два случая - $\dim \mathrm{rad} A = 0$ и $\dim \mathrm{rad} A = 1$.

Во втором случае радикал должен быть нулевой алгеброй, т.к. он нильпотентен. Т.е. $\mathrm{rad} A = Z^1_k$(я так нулевую алгебру размерности 1 над $k$ обозначаю) и $A/\mathrm{rad} A = k$. Следовательно, $A = k1 + ke$, где $ke$ - нулевая алгебра, т.е. $e^2 = 0$. (Это вообще очевидно, но если уж доказывать через теоремы, то можно сослаться на теорему Веддербёрна-Мальцева)

В первом случае алгебра полупростая, и, стало быть, рскладывается на простые сомножители. Т.к. $\dim A = 2$, то это либо $k\times k$, либо расширение $K$ поля $k$, степень которого равна 2 (Если такое существует). (Т.к. алгебра с делением имеет размерность $n^2$ над своим центром, варианта некоммутативной алгебры с делением тут нет. Матричных алгебр, разумеется, тоже быть не может)

Хм. Честно говоря, когда начинал писать, думал, что будет сложнее.

Вот непосредственное доказательство. Я не требую ассоциативности в двумерном случае, она следует из существования единицы.

Структурные коэффициенты (*), согласно (***) (см. выше), с учетом определения $e_1 = 1$ и $e_2 = i$ дадут «уравнение»

$i^2 = p + q i$

или

$I \equiv (i-\frac{q}{2})^2 = p + \frac{q^2}{4} \equiv u$.

Возможны варианты:

1. $u = 0$. Тогда $I^2 = 0$ и мы получаем «параболическую» алгебру.
2. $u \neq 0$. Тогда $I \equiv (i-\frac{q}{2})^2 \frac{1}{|u|} = \pm 1$, что дает «гиперболическую» и «эллиптическую» алгебры.

Как видите, не намного сложнее .

Xaositect писал(а):

А как Вы выделяете эти единицы? Почему $i$ или $j$ - единица, а $1+i$ или $1+j$ - нет?

Р. Пирс называет эти единицы «базисными элементами». Может быть это будет точнее. Естественно, если $1+i$ или $1+j$ образуют базис, то вполне могут быть названы «независимыми единицами», в смысле «базисные элементы». Считайте мое название просто синонимом. Иногда, чтобы подчеркнуть, выделенность «обычной» единицы, я называю ее «нейтральной единицей». Тоже можно считать синонимом. Впрочем, если это напрягает, я могу использовать только слова «единица» и «базисные элементы».

[Xaositect]

Scholium в сообщении #376753 писал(а):

Как видите, не намного сложнее .

Ну, Вы утверждали, что с помощью структурных теорем вообще классифицировать сложно. Вот я и решил это проделать. :)

[Scholium]

paha писал(а):

это т.н. "мнимые единицы"... а ту самую нильпотентную $\epsilon$ с трудом можно сюда отнести

Ну, «базисные элементы» Вас больше устраивают? Конечно, «нильпотентная единица» отличается по свойствам от «мнимых единиц». Но в алгебре, «обычная единица», «мнимые единицы» являются «базисными элементами». «Нильпотентная единица» тоже «базисный элемент». Так почему все их не отнести к семейству «независимых единиц»?

-- Чт ноя 18, 2010 09:48:17 --

Xaositect писал(а):

у Руст используется условие ассоциативности степеней (power-associativity): $x^i x^j = x^{i+j}$, где $x^1 = x$, $x^{i+1} = x^i\cdot x$. В характеристике 0 это эквивалентно тому, что $x(xx) = (xx)x,\ (xx)(xx) = x(x(xx))$

Прекрасно! Ну, так давайте выпишем для них условие на структурные константы по аналогии с (**). Тогда всем все будет понятно. Дальше его анализ со структурными коэффициентами не вызовет вопросов.

-- Чт ноя 18, 2010 10:01:20 --

Xaositect писал(а):

Ну, Вы утверждали, что с помощью структурных теорем вообще классифицировать сложно. Вот я и решил это проделать. :)

Мне и сейчас не кажется, что просто. Фактически, Вы доказали классификационную теорему для $n=2$ на базе структурных теорем (с избыточным, правда, условием). Если Вы проделаете подобную работу для $n=3$ и, может быть, выше, то вполне можете публиковать Ваш результат, как достаточно новый. А я cмогу сослаться на Вашу классификацию ибо пишу статью, в которой мне нужно будет упомянуть о классификации алгебр в $\mathbb{R}^n$, хотя бы для малых $n$. А также показать какие алгебры из них будут коммутативно-ассоциативными, какие только коммутативными или ассоциативными и какие вообще «никакие» . Потом из этой «кучи» алгебр выбрать некоторую «особенную» и уже «плясать» вокруг нее .

[Xaositect]

Scholium в сообщении #376874 писал(а):

Xaositect писал(а):

Ну, Вы утверждали, что с помощью структурных теорем вообще классифицировать сложно. Вот я и решил это проделать. :)

Мне и сейчас не кажется, что просто. Фактически, Вы доказали классификационную теорему для $n=2$ на базе структурных теорем (с избыточным, правда, условием). Если Вы проделаете подобную работу для $n=3$ и, может быть, выше, то вполне можете публиковать Ваш результат, как достаточно новый. А я cмогу сослаться на Вашу классификацию ибо пишу статью, в которой мне нужно будет упомянуть о классификации алгебр в $\mathbb{R}^n$, хотя бы для малых $n$. А также показать какие алгебры из них будут коммутативно-ассоциативными, какие только коммутативными или ассоциативными и какие вообще «никакие» . Потом из этой «кучи» алгебр выбрать некоторую «особенную» и уже «плясать» вокруг нее .

Ну, для $n=3$ вряд ли в приличный журнал примут, тем более что у всех есть смутные сомнения, что кто-то это уже сделал. Могу pdf куда-нибудь положить. Для $n=5$ есть у Мацоллы, по поводу $n=4$ он куда-то ссылается. Да и тем более для $n>4$ мне делать это лень, у меня свои задачи есть.

[Scholium]

Xaositect писал(а):

Ну, для $n=3$ вряд ли в приличный журнал примут, тем более что у всех есть смутные сомнения, что кто-то это уже сделал. Могу pdf куда-нибудь положить. Для $n=5$ есть у Мацоллы, по поводу $n=4$ он куда-то ссылается. Да и тем более для $n>4$ мне делать это лень, у меня свои задачи есть.

Насчет pdf. Вы может легко и быстро создать сайт на народе ру по типу моего и там выложить свою работу. Если есть проблемы с созданием шаблона сайта, можете спокойно скопировать мой, вставив свои реквизиты и текстовку. У меня на публикацию там своего pdf заняло всего несколько дней. Все html файлы я редактировал вручную с помощью NotePad++ (npp) – очень удобный и бесплатный текстовый редактор. Могу проконсультировать по другим техническим вопросам.

G. Mazzola рассматривал только ассоциативные алгебры размерности 5. И над алгебраически замкнутым полем. Мы же рассматриваем алгебры над алгебраически незамкнутым полем $\mathbb{R}$ и, кроме того, условие ассоциативности не предполагаем изначально, только наличие единицы. Конечно, интересно будет полученные алгебры разделить на группы коммутативных, ассоциативных и тому подобное. Желательно с какими-то характерными их свойствами. Так что пока похожей задачи даже для случая $n=3$ не наблюдается.

Я прошелся по ссылкам Мазолы и дал найденные интересные ссылки несколько постов назад. Везде алгебры ассоциативные или поле комплексное или супералгебра.

Думаю, достаточно даже будет если Вы разберете случай только для $n=3$ и $n=4$.

[Xaositect]

Ну так у меня тоже только ассоциативные. Для неассоциативных в общем случае структурных теорем нет, а в частных я их не помню :)

[Руст]

Цитата:

G. Mazzola рассматривал только ассоциативные алгебры размерности 5. И над алгебраически замкнутым полем. Мы же рассматриваем алгебры над алгебраически незамкнутым полем $\mathbb{R}$ и, кроме того, условие ассоциативности не предполагаем изначально, только наличие единицы. Конечно, интересно будет полученные алгебры разделить на группы коммутативных, ассоциативных и тому подобное. Желательно с какими-то характерными их свойствами. Так что пока похожей задачи даже для случая $n=3$ не наблюдается.

Я прошелся по ссылкам Мазолы и дал найденные интересные ссылки несколько постов назад. Везде алгебры ассоциативные или поле комплексное или супералгебра.

Думаю, достаточно даже будет если Вы разберете случай только для $n=3$ и $n=4$.

Наличие 1 не сильно ограничивает количество не изоморфных алгебр. Любой алгебре размерности $n-1$ можно добавить новый элемент и объявит её $1$. Поэтому добавление 1 примерно только уменьшает размерность на 1 в общей классификации. Уже трехмерных даже с 1 будет континиум не изоморфных. Наличие ассоциативности степеней сильно ограничивает количество неизоморфных, в то же время обхватывает все интересные случаи (альтернативные, йордановые и лиевые). Поэтому я ратую за классификацию именно в такой постановке.

[Scholium]

Xaositect писал(а):

Ну так у меня тоже только ассоциативные. Для неассоциативных в общем случае структурных теорем нет, а в частных я их не помню :)

Жаль. Придется, по-видимому, вручную разбирать семейства $\mathcal{B}_m^3$ и выше. Это не сильно прикалывает, но лучше, чем ничего .

Руст писал(а):

Наличие 1 не сильно ограничивает количество не изоморфных алгебр. Любой алгебре размерности $n-1$ можно добавить новый элемент и объявит её $1$. Поэтому добавление 1 примерно только уменьшает размерность на 1 в общей классификации. Уже трехмерных даже с 1 будет континиум не изоморфных. Наличие ассоциативности степеней сильно ограничивает количество неизоморфных, в то же время обхватывает все интересные случаи (альтернативные, йордановые и лиевые). Поэтому я ратую за классификацию именно в такой постановке.

Континуум не пугает, если перейти к параметрической форме неизоморфных алгебр. А при ручном исследовании алгебр, даже при малых $n$, присутствие единицы существенно снижает сложность задачи. С 8 до 2 при $n=2$, с 27 до 12 (еще на 4 можно уменьшить за счет линейных преобразований) при $n=3$ и т.д.

Я предпочитаю получить все классы алгебр и уже потом делить их на всякие там разные подклассы. Сначала мы «молились» на коммутативность, потом легко отказались от нее (например, исчисление некоммутативных операторов в Квантовой механике), потом идеализировали ассоциативность. Но теже октавы (с ослабленной ассоциативностью) уже применяются в теорфизике. Все числа Кэли-Диксона вроде бы обладают степенной ассоциативностью и даже условием эластичности и «йорданновой ассоциативностью». Но для них даже нет названия в пространстве $\mathbb{R}^{32}$ и выше, то бишь они не шибко используются на практике. Просто я полагаю, что завтра вполне могут спокойно отказаться от ассоциативности вообще и даже найти под это дело приложения. И почему бы заранее не «посмотреть» на неассоциативные алгебры, хотя бы малых размерностей?

[paha]

Scholium в сообщении #377028 писал(а):

Придется, по-видимому, вручную разбирать семейства $\mathcal{B}_m^3$ и выше

я ж Вам говорю: фактор алгебры по идеалу, порожденному ассоциаторами, ассоциативен