Доказать расходимость ряда

[altro]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста доказать следующее утверждение: сумма сходящегося ряда и расходящегося также есть расходящийся ряд.
Пробовал доказать через критерий Коши, но проблема возникает в совмещении условия Коши для сходящегося ряда и расходящегося.

[MetaMorphy]

Не в ту степь отправились. Разность двух сходящихся рядов - сходящийся ряд.

[altro]

MetaMorphy в сообщении #371366 писал(а):

Не в ту степь отправились. Разность двух сходящихся рядов - сходящийся ряд.

У меня один ряд сходится, другой - расходится. Доказать, что сумма этих рядов разойдется.

[MetaMorphy]

Ну дык? Предположим (от противного), что сойдётся... и далее по тексту.

[altro]

Всё равно не понятно, как дальше: ну пусть сходится, но тогда всё равно оценка модуля не в ту сторону. Что с того, что модуль разности модулей (по Коши) меньше произвольного положительного числа. Из этого я противоречия не вижу...

[MetaMorphy]

Да сдался вам этот Коши. Ряд $A$ сходится, ряд $B$ не сходится. Предположим, что ряд $C=A+B$ сходится. Тогда ряд $B=C-A$, как разность двух сходящихся рядов, обязан сходиться. Противоречие. Где проблемы? Может, в определениях? (Здесь можно, конечно, и с критерием Коши поиграться, но зачем?)

[altro]

Теперь стало понятно. Спасибо.

-- Сб ноя 06, 2010 18:26:13 --

Тогда ещё вопрос на ту же тему. Не могу привести пример такого абсолютно сходящегося ряда, который представлен в виде суммы условно сходящегося и абсолютно сходящегося.

[MetaMorphy]

Действительно, на ту же тему. Докажите, что такого примера никто никогда не приведёт. (Ох, звёзды "пачота" плачут по мне - запретят мне скоро тут что-либо писАть.)

[altro]

То есть, так же пусть ряд А сходится абсолютно, ряд В - условно. Пусть ряд С = А + В - абсолютно, тогда В = С - А - абсолютно, что не есть правда. Но почему разность двух абсолютно сходящихся рядов есть также абсолютно сходящийся ряд?

[MetaMorphy]

Вы наверняка способны ответить на этот вопрос сами. Иначе с вами уже слишком грустно будет общаться. Почти как со мной)

[ewert]

altro в сообщении #371445 писал(а):

Но почему разность двух абсолютно сходящихся рядов есть также абсолютно сходящийся ряд?

По "неравенству треугольника": модуль разности не превосходит суммы модулей.