Вопрос по теории вероятностей.

[StuDenT777]

Здравствуйте!
У меня следующтй вопрос. Пусть есть последовательность интегрируемых, сходящихся к нулю почти наверное случайных величин. Является ли такая последовательность равномерно интегрируемой?
Спасибо.

[Хорхе]

Встречный вопрос. Пусть есть последовательность интегрируемых, сходящихся к нулю почти наверное случайных величин. Обязательно ли математическое ожидание сходится к нулю?

[StuDenT777]

Для этого достаточно равномерной интегрируемости.

[Хорхе]

Вы не ответили на мой вопрос. Если не можете сами ответить, попробуйте найти ответ в учебнике.

[StuDenT777]

Нет, это не верно. Значит и ответ на мой вопрос отрицательный. И вообще я понял, что вопрос был глупый. Ладно, буду искать другие методы доказательства. Похоже пора спать, чтобы больше не спрашивать таких глупостей. Спасибо Вам.

[Хорхе]

Так спросите конкретно, что нужно. Возможно, тогда вместо вопросов в ответ получите ответы или хотя бы подсказки

[StuDenT777]

Я еще недостаточно долго провозился с этой задачей, чтобы спрашивать:) И еще не все идеи испробованы. Если спрошу сейчас и получу ответ, то не интересно будет! Порешаю еще сам. Не получится-спрошу. А Вам еще раз спасибо.

[StuDenT777]

С той задачей разобрался. Можно теперь задать вопрос по доказательству из книги Ширяева? На стр.493(в моем издании) написано:
Из леммы Кронекера и условия (22) вытекает, что
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2r}}M|M_n|^{2r}=0$.
Можете пояснить это? Пусть для простоты при $r=1$. Думаю, то, что $M_n$ - мартингал и $r>1$, тут не принципиально.
Спасибо.

[StuDenT777]

Пытался брать $x_j=\frac{M(M_j-M_{j-1})^2}{j^2},~b_j=j^2$, но не получается. Это все, наверное, очень просто и никому не интересно, но теперь хочется понять раз уж взялся. Помогите, пожалуйста.

[Хорхе]

Не понимаю, откуда это взялось. У меня получилось такое (из неравенства Йенсена):

$$ n^{-2r}\mathsf{M}|M_n|^{2r}\le n^{-1}\sum_{k=1}^n \mathsf M|\Delta M_k|^{2r}, $$

но лемма Кронекера, примененная к (22), дает сходимость к нулю только для

$$ n^{-2-r}\sum_{k=1}^n \mathsf M|\Delta M_k|^{2r}. $$

Очень далеко от того, что нужно.

[StuDenT777]

И я о том же... Не мог же Ширяев, наверное, ерунду написать. Уже всю голову сломал.

[Хорхе]

StuDenT777 в сообщении #366150 писал(а):

Не мог же Ширяев, наверное, ерунду написать.

Зря Вы так Альберта Николаевича недооцениваете. Он может всё!

[StuDenT777]

Ну, в такой серьезной книжке такой ляп. Очень странно...

-- Пн окт 25, 2010 21:27:04 --

Надеюсь, кто-нибудь еще проявит к этому интерес, очень уж интересно.

[StuDenT777]

Чуть ниже на этой же страниц это утверждение доказано с помощью неравенств Буркхольдера и Гельдера. Вынесем там $j^{r-1}$ за знак мат.ож., а само мат. ожидание внесем под знак суммы. И, поделив все на $j^{2r}$, используя сходимость ряда, получим требуемую сходимость. Там, конечно, другой ряд получается немного, но он все равно сходится, т. к. мы просто заменяем знаменатели на самый большой. Я правильно понимаю?

[StuDenT777]

Ерунду написал выше. Так проходит только при $r=1$. И вместо сходимости ряда надо как раз использовать лемму Кронекера.