ряд Тейлора

[like2dev]

Просто не могу понять какая производная будет от $1 / (x-2)$ , если бы диф. то было бы $ln(x-2)$

[Dan B-Yallay]

like2dev в сообщении #365053 писал(а):

Просто не могу понять какая производная будет от $1 / (x-2)$ , если бы диф. то было бы $ln(x-2)$

Правило $\dfrac d {dx} f^n(x) = nf^{n-1}(x) \dfrac d {dx} f(x)}$ знакомо?

$\dfrac 1 {x-2} = (x-2)^{-1}$.

[like2dev]

да, сорри. Тупо не додумался.

-- Пт окт 22, 2010 23:19:45 --

$y^n = (-1)^n * n! * (x-2)^n*(-1)-1$

сорри не могу n*(-1) -1 в степень перенести. Вообщем, после этого что делать

[Dan B-Yallay]

После этого вычислять значение каждой производной $y^{(n)}(x)$ в точке $x=3$

-- Пт окт 22, 2010 13:45:01 --

like2dev писал(а):

сорри не могу n*(-1) -1 в степень перенести. Вообщем, после этого что делать

Это надо писать как

... (x-2)^{-n-1}

[like2dev]

а смысл считать кучу раз производные...что дадут эти числа?

[Dan B-Yallay]

Они используются в формуле/ряде Тэйлора, разве не так? Надо найти закономерность в этой куче цифр.

[like2dev]

$(-1)^n *n!$ вот такая закономерность получилась

[Dan B-Yallay]

Правильно. Теперь вернемся к ряду Тейлора:

$f(x)= f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \ldots$ $=\displaystyle \sum_{n=0} ^ {\infty } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}$

В вашем задании $a=3$. Выпишите ряд.

[like2dev]

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(3)}{n!}\,(x-3)^n

$$f^{(n)}(3)} - вы хотите сказать что сюда надо подставить $$(-1)^n*n!

[Dan B-Yallay]

Да. Что получается?

[like2dev]

$$(-1)^n*(x-3)^n - єто и есть мой ряд?

[Dan B-Yallay]

Вообще то там должно быть суммирование. Но в принципе- да. Это ваш ряд.

Если хотите, можем еще обсудить подсказки от Профессора Снейпа которые вы не поняли. Они были бы вам полезны.

[like2dev]

Давайте, расскажите я послушаю.

[Dan B-Yallay]

Вы наверное проходили суммирование геометрической прогрессии:

$(1-z)(1+z+z^2+z^3+z^4+...) = 1 \ \text{то есть } \ (1+z+z^2+z^3+z^4+...) = \dfrac 1 {1-z} $


Меняя знак у $z$ получаем
$(1+z)(1-z+z^2-z^3+z^4-...) = 1 \ \text{то есть } \ (1-z+z^2-z^3+z^4-...) = \dfrac 1 {1+z} $

А теперь сделаем замену переменной: $z=x-3$ получим:

$1-(x-3)+(x-3)^2-(x-3)^3+(x-3)^4... = \dfrac 1 {1+ (x-3)} = \dfrac 1 {x-2}$.

Сравните это с вашим разложением Тейлора. И причем - не пришлось искать производные. Но это просто так повезло с функцией.

[like2dev]

Мы может и проходили, но нам ничего не объясняют мы просто переписываем все , что она пишет.

ну та скобка будет = 1 , если x < 1

-- Сб окт 23, 2010 01:01:45 --

нашел формулу $a-aq^n / 1-q$