Нерефлексивность C(X)

[id]

Пусть $X$ - хаусдорфово компактное топологическое пространство, $C(X)$ - пространство непрерывных функций на нем с равномерной нормой.
Требуется показать, что последнее рефлексивно $\Leftrightarrow$ $X$ состоит из конечного числа точек.

В одну сторону все ясно.
В другую - полагается, что про Эберлейна-Шмульяна не знаем. Но Банаха-Алаоглу знаем.
Поэтому допустим, что $C(X)$ рефлексивно, тогда его единичный шар $D$ замкнут в *-слабой топологии.
$X$ хаусдорфово и компактно, а значит нормально.
Рассмотрим такую точку $x \in X$ у которой в любой окрестности имеется бесконечное множество других точек $X$ (следует из компактности и бесконечности). То есть если $\{\Gamma_{\lambda}\}$ - базис окрестностей $x$, то для каждого $\lambda$ выбираем $x_{\lambda} \neq x, x_{\lambda} \in \Gamma_{\lambda}$
Рассмотрим подмножества $D$:
$F_{\lambda} := \{f:f(x_\lambda)=0\} \cap \{f:f(x)=1\}$
Каждое из них непусто (как и пересечение любого их конечного набора) по лемме Урысона и замкнуто (ибо $f(y)$ - это интеграл по мере Дирака, преднорма в *-слабой топологии).
В компактном пространстве пересечение центрированного семейства замкнутых множеств непусто, значит, $\exists g \in D: \forall \lambda \ g \in F_{\lambda}$.
А это противоречит непрерывности $g$.
Все так?

[moscwicz]

Уж раз пошла такая пьянка... Я бы предложил доказать, что $C(X)$ вообще не является сопряженным к какому-либо банахову пространству.

[id]

moscwicz
Это просто делается для $C([0,1])$, да. Где легко найти крайние точки единичного шара (которых всего две) и воспользоваться Крейном-Милманом, показав что шарик не является их выпуклой оболочкой.

Для общего случая $X$ сложнее. Ясно, что для того, чтобы порождаеть весь $D$ множество крайних точек должны содержаться функции, принимающие значения 1 и -1 на конечных множествах $A,B$ соответственно (но при этом прообразы могут быть шире). Тогда, если в к-ве $A$ взять $x$ выше, а в качестве $B$ - что-то связанное с $x_{\lambda}$, то может и получится. Только в д-ве выше я явно использовал устройство *-слабой топологии, тут неясно как это устроить.

[Padawan]

id в сообщении #362699 писал(а):

Поэтому допустим, что $C(X)$ рефлексивно, тогда его единичный шар $D$ замкнут в *-слабой топологии.

Может в слабой?

[id]

Для рефлексивного пр-ва это же одно и то же, просто я написал здесь буквально теорему Банаха-Алаоглу.

Или что-то не то?

[Padawan]

Теорема Банаха-Алаоглу звучит так : единичный шар $X^*$ компактен в $*$-слабой топологии. А у нас наоборот получается.
Или в рефлексивном пространстве слабая и $*$-слабая совпадают? Я не в курсе просто.

-- Вс окт 17, 2010 16:20:34 --

id в сообщении #362699 писал(а):

ибо $f(y)$ - это интеграл по мере Дирака, преднорма в *-слабой топологии

Вы, похоже, просто слабую топологию $*$-слабой называете. А так, всё правильно по доказательству, вроде.

[id]

Ну так ведь мы знаем, что есть сопряженное к $C(X)$; если $C(X)$ рефлексивно, то оно есть сопряженное к этому пространству.

А в рефлексивном слабая и *-слабая совпадают, т.к. набор преднорм один и тот же.

[Padawan]

Понял. Всё правильно.

[id]

Хорошо. Спасибо!

Интересно, а что по поводу предложения moscwicz?
Для $C[0,1]$ это просто, а вот в общем?..

[Deggial]

Пост kond отделён в Каратин.