Сходимость ряда и сходимость ряда из кубов

[altro]

Известно, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{} a_n$ сходится. Необходимо доказать, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{} a_n^3$ также сходится. Исходный ряд считается не знакоопределённым.

[Хорхе]

Это неверно. Возьмем какой-нибудь медленно сходящийся ряд вроде $\sum (-1)^n n^{-1/100}$ и начнем разбивать отрицательные члены на все большее и большее количество частей (чтобы ряд из кубов этих кусков стал сходиться). Тогда весь ряд из кубов станет расходящимся.

[altro]

Ваше утверждение неправда, так как ряд $\sum (-1)^n n^{-3/100}$ по прежнему остаётся рядом Лейбница - т.е. сходится...

[venco]

Вы пропустили "разбивать отрицательные члены на все большее и большее количество частей (чтобы ряд из кубов этих кусков стал сходиться)".

[ИСН]

Это был туманно описанный пример, а вот прямой: $\sum{\cos{2\pi n\over 3}\over\sqrt[10]n}$

[altro]

ИСН в сообщении #361742 писал(а):

Это был туманно описанный пример, а вот прямой: $\sum{\cos{2\pi n\over 3}\over\sqrt[10]n}$

Т.е. ряд, полученный из этого возведением в куб общего члена не будет сходится. И как это доказать. Отрицание критерия Коши смутно представляется...

[venco]

ИСН в сообщении #361742 писал(а):

Это был туманно описанный пример, а вот прямой: $\sum{\cos{2\pi n\over 3}\over\sqrt[10]n}$

Этого недостаточно. Ваш ряд сходится и в кубе. Надо делить на увеличивающееся число членов.

[altro]

Я знаю точно, что утверждение истинно, поэтому контр пример искать бесполезно...

[venco]

altro в сообщении #361746 писал(а):

Я знаю точно, что утверждение истинно, поэтому контр пример искать бесполезно...

Тем не менее контр-пример есть.

[Null]

$\frac{1}{ln(2)}-\frac{1}{2\ln(2)}-\frac{1}{2\ln(2)}+\frac{1}{\ln(3)}-\frac{1}{2\ln(3)}-\frac{1}{2\ln(3)}+\dots+\frac{1}{\ln(n)}-\frac{1}{2\ln(n)}-\frac{1}{2\ln(n)}+\dots$

[altro]

Null в сообщении #361751 писал(а):

$\frac{1}{ln(2)}-\frac{1}{2\ln(2)}-\frac{1}{2\ln(2)}+\frac{1}{\ln(3)}-\frac{1}{2\ln(3)}-\frac{1}{2\ln(3)}+\dots+\frac{1}{\ln(n)}-\frac{1}{2\ln(n)}-\frac{1}{2\ln(n)}+\dots$

И с доказательством проблем нет....?

[venco]

Null в сообщении #361751 писал(а):

$\frac{1}{ln(2)}-\frac{1}{2\ln(2)}-\frac{1}{2\ln(2)}+\frac{1}{\ln(3)}-\frac{1}{2\ln(3)}-\frac{1}{2\ln(3)}+\dots+\frac{1}{\ln(n)}-\frac{1}{2\ln(n)}-\frac{1}{2\ln(n)}+\dots$

Так даже лучше.

[Null]

Если этот ряд не знакоопределенный(Такого слова даже ворд незнает ), то это контрпример.

[Padawan]

venco в сообщении #361745 писал(а):

ИСН в сообщении #361742 писал(а):

Это был туманно описанный пример, а вот прямой: $\sum{\cos{2\pi n\over 3}\over\sqrt[10]n}$

Этого недостаточно. Ваш ряд сходится и в кубе.

Расходится, пример правильный. $\cos^3\alpha=\frac 34\cos\alpha+\frac{1}4\cos 3\alpha$.
Получается $\left(\dfrac{\cos{\frac{2\pi n}{3}}}{\sqrt[10]{n}}\right)^3=\dfrac 34\dfrac{\cos\frac{2\pi n}{3}}{n^\frac{3}{10}}+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{n^{\frac {3}{10}}}$

[AlexandreII]

А комплексный пример подойдет?

Пусть $b$ - первообразный корень 3-й степени из 1.
$a_n = b^n / n^{1/3}$.
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} b^n / n^{1/3}$ сходится, так как $\sum b^n$ ограничена, поскольку $1 + b + b^2 = 0$.
В кубе получаем ряд $\sum 1/n$.