Разрешимые группы

[low]

несколько простых вопросов...
1. существует ли альтернативное (не использующее понятие коммутант) определение разрешимой группы?
2. тривиальный пример разрешимой некоммутативной группы, кроме симметрических.
3. тривиальный пример неразрешимой группы, кроме группы матриц.

[Профессор Снэйп]

low в сообщении #361056 писал(а):

3. тривиальный пример неразрешимой группы, кроме группы матриц.

Вроде $A_n$ для $n \geqslant 5$ годится...

[Padawan]

1.
Существует конечная убывающая последовательность подгрупп $G=H_1\supset\ldots\supset H_n=\{e\}$, в которой $H_{i+1}$ является нормальной подгруппой в $H_i$ и фактор-группа $H_i/H_{i+1}$ абелева. Можно также считать, что все $H_i$ -- нормальные подгруппы в $G$.

[low]

low в сообщении #361056 писал(а):

3. тривиальный пример неразрешимой группы, кроме группы матриц.

извиняюсь, кроме симметрических и знакопеременных еще.. это во всех учебниках написано, а сам я только до матриц додумался (да и матрицы там не все)

2 Padawan
спасибо!

[Padawan]

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/4629/РАЗРЕШИМАЯ

Ну вот ряд из коммутантов как раз и будет одним из тех рядов, в котором $H_i$ нормальны в $G$.

-- Пн окт 11, 2010 21:07:51 --

3. Группа умножения кватернионов, равных по модулю 1. Она простая -- в ней вообще нет нормальных подгрупп. А значит и неразрешимая.

[low]

сложновато будет =\ хотя я понял, спасибо

более простые примеры на горизонте есть?

[ИСН]

Более простые - это какие? Любая некоммутативная группа сама по себе уже достаточно - - -

[low]

некоммутативная группа может быть как разрешимой так и не разрешимой, собственно меня и интересуют примеры разрашимых некоммутативных групп

[AlexandreII]

Цитата:

3. тривиальный пример неразрешимой группы, кроме группы матриц.

Есть теорема классификации конечных простых групп: это либо циклические, либо
знакопеременные группы A_n подстановок не меньше, чем 5 элементов, либо простые группы типа Ли, либо одна из 26 спорадических групп.

Простая группа разрешима тогда и только тогда, когда она абелева.