Непрерывность интегрируемой функции

[Padawan]

Доказать, что если функция $f(x)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a,b]$, то множество её точек непрерывности всюду плотно на этом отрезке.

Задача не олимпиадная, просто интересно, какие есть варианты решения кроме моего.

Критерий Лебега предполагается неизвестным.

[gris]

А это равносильно тому, что она непрерывна почти везде на отрезке?

16:00 Не было про критерий Лебега! Это Вы вставили через минуту. Или глюки у меня?

[Padawan]

Нет, гораздо слабее.
Не было, вставил через минуту.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #345178 писал(а):

Доказать, что если функция $f(x)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a,b]$, то множество её точек непрерывности всюду плотно на этом отрезке.

Любопытно, что в обратную сторону это наверняка неверно. Ведь на отрезке существует совершенное нигде не плотное множество положительной меры [Гелбаум Контрпримеры в анализе].
И наверное сыщется функция, для которой это множество является множеством точек разрыва.

[AD]

Цитата:

И наверное сыщется функция, для которой это множество является множеством точек разрыва.

Ясное дело, что сыщется. Его характеристическая функция, например. Ясно, что она будет непрерывна во всех точках его открытого всюду плотного дополнения.

[Padawan]

А решение кто-нибудь предложит? Или это настолько тривиально упражнение?

[gris]

Я вчера написал было, но побоялся отправлять.
От противного. Если нет, то существует отрезок, на котором функция разрывна в каждой точке. А дальше забыл.

[AD]

Так, ну положим

$$o_f[a,b]=\inf\limits_{[\alpha,\beta]\subset[a,b]}\mathop{\mathrm{osc}}\limits_{[\alpha,\beta]}\,f$$

, где $\mathop{\mathrm{osc}}\limits_Ef=\sup\limits_{x,y\in E}|f(x)-f(y)|$. Если функция $f$ всюду разрывна на $[a,b]$, то $o_f[a,b]>0$. Действительно, если она нуль, то возьмем подотрезок $[a_1,b_1]\subset[a,b]$, на котором тоже $o_f[a_1,b_1]=0$, и причем $\mathop{\mathrm{osc}}\limits_{[a_1,b_1]}\,f<\frac12$, потом возьмем подотрезок $[a_2,b_2]\subset[a_1,b_1]$, на котором тоже $o_f[a_2,b_2]=0$, и причем $\mathop{\mathrm{osc}}\limits_{[a_2,b_2]}\,f<\frac14$, и т.д., тогда их пересечение будет точкой непрерывности $f$.

Ну а потом ясно, что если функция $f$ всюду разрывна (а пока я это все сочинял, gris уже просёк, что этот случай рассмотреть достаточно), то суммы Дарбу всегда будут расходиться на $o_f(a,b)\cdot(b-a)$.

upd: Нужно еще допилить, потому что это доказательство путается со случаем, когда все отрезки будут с одной стороны от точки пересечения. Надо еще чуть-чуть подумать, завтра посоображаю.

upd: А, не, до завтра не дотянул. Ясно, что я лишь доказал наличие точки односторонней непрерывности.

upd: А, ой, не, вообще всё неправильно. Отбой. Но описать по-человечески класс функций $f:[a,b]\to\mathbb{R}$, для которых $o_f[a,b]=0$, было бы забавно.

[Padawan]

Ну да, только я бы взял $[a_i,b_i]\subset (a_{i-1}, b_{i-1})$. Чтобы наверняка.

Я рассуждал так: если функция $f$ интегрируема на $[a,b]$, то для любого $\varepsilon>0$ найдётся отрезок $[c,d]\subset (a,b)$ такой, что $d-c<\varepsilon$ и $\mathop{\mathrm {osc}}\limits_{[c,d]} f <\varepsilon$.
Действительно, возьмем какой-нибудь отрезок $[a',b']\subset (a,b)$ с $b'-a'<\varepsilon$, на нём функция также интегрируема (известная теорема). Дальше берём разбиения отрезка $[a',b']$ и составляем для них разность сумм Дарбу $S-s$. Если бы утверждение было не верно, то $S-s\geqslant \varepsilon\cdot (b'-a')\not\to 0$.

Ну а дальше также ( в смысле аналогично строится последовательность вложенных отрезков с $\varepsilon=1/2,\, 1/3,\,\ldots$ и берётся их точка пересечения).

P.S. На мой вкус, изюминка в этой задачке -- это взятие точки пересечения и замечание, что в ней функция непрерывна. По-хорошему это тоже надо обосновывать (хотя тут по критерию Коши легко).

[AD]

Да, у Вас гораздо убедительнее. А у меня просто вот этим:

Цитата:

только я бы взял $[a_i,b_i]\subset (a_{i-1}, b_{i-1})$. Чтобы наверняка.

не отделаешься, потому что бывают функции вида

$$f(x)=\begin{cases}x^2+\sin^2\frac1x,&x\in\mathbb{Q},x\neq 0\\ 1, &x=0\\ 0, &x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$$

. Но для них это свойство имеет не имеет места на всех подотрезках, чем Вы и воспользовались.

Интересно, а если просто из критерия Лебега лишние сущности выкинуть - может, другое решение будет?

[gris]

Всё гораздо проще. Я рассуждал так - если бы существовала интегрируемая по Риману функция, разрывная в каждой точке отрезка, то она наверняка была бы приведена в контрпримерах у Гельбаума. Но там нет такого примера.

[AD]

Н-да, чего-то проще ничего не придумывается. Зато забавное утверждение получилось: функция $f$ имеет всюду плотное множество точек непрерывности тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon>0$ в любом отрезке найдется подотрезок, на котором осцилляция $f$ меньше $\varepsilon$.

[ewert]

Padawan в сообщении #345539 писал(а):

для любого $\varepsilon>0$ найдётся отрезок $[c,d]\subset (a,b)$ такой, что $d-c<\varepsilon$ и $\mathop{\mathrm {osc}}\limits_{[c,d]} f <\varepsilon$.

Какая-то заковыристая логика, в меня она не вмещается. Зачем эпсилоны-то одинаковы?... и что будет обратным утверждением?...

Я бы оформил это рассуждение так. Для любой интегрируемой функции и для любого отрезка по любому $\varepsilon>0$ найдётся подотрезок, на котором осцилляция меньше $\varepsilon$ (поскольку иначе да, Дарбу и т.д.). Фиксируем две любые последовательности $\varepsilon_n\to+0$ и $\delta_n\to+0$ (хватило бы и одной, но с двумя нагляднее). Берём $[a_0;b_0]=[a;b]$ и затем на каждом шаге $[a_{n};b_{n}]\subset[a_{n-1};b_{n-1}]$ так, чтобы осцилляция на $[a_{n};b_{n}]$ не превосходила бы $\varepsilon_n$ (это можно по предыдущему утверждению) и, кроме того, отрезок $[a_{n};b_{n}]$ был бы строго внутренним подотрезком $[a_{n-1};b_{n-1}]$ длины, меньшей $\delta_n$ (можно, поскольку при сужении подотрезка осцилляция разве что уменьшится). Далее по тексту.

[Padawan]

ewert в сообщении #347894 писал(а):

Зачем эпсилоны-то одинаковы?...

А почему бы нет? Какая разница, главное и то и то к нулю стремится.

ewert в сообщении #347894 писал(а):

и что будет обратным утверждением?...

Существует $\varepsilon>0$ такое, что для любого отрезка $[c,d]\subset (a,b)$ c $b-a<\varepsilon$ выполнено $\mathrm{osc}_{[c,d]} \ f\geqslant\varepsilon$

В общем-то я тоже чувствую, что это плохой тон, одно и то же $\varepsilon$ использовать, неожиданности всякие непредвиденные могут возникнуть. Просто не хотелось лишний промежуточный отрезок вводить.

[ewert]

Padawan в сообщении #348065 писал(а):

ewert в сообщении #347894 писал(а):

и что будет обратным утверждением?...

Существует $\varepsilon>0$ такое, что для любого отрезка $[c,d]\subset (a,b)$ c $b-a<\varepsilon$ выполнено $\mathrm{osc}_{[c,d]} \ f\geqslant\varepsilon$

А вот и нет:

Существует $\varepsilon>0$ такое, что для любого отрезка $[c,d]\subset (a,b)$ выполнено $b-a\geqslant\varepsilon$ или $\mathrm{osc}_{[c,d]} \ f\geqslant\varepsilon$

Во всяком случае, формально и непосредственно -- именно так. И поди ещё переформулируй на весу в Ваш вариант.

Padawan в сообщении #348065 писал(а):

В общем-то я тоже чувствую, что это плохой тон, одно и то же $\varepsilon$ использовать, неожиданности всякие непредвиденные могут возникнуть. Просто не хотелось лишний промежуточный отрезок вводить.

Ну не то чтобы плохой тон, а читателю неуютно, разные ненужные мысли в голову лезут: а зачем, мол, они одинаковы?...