2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 О среднем росте учеников в классе (олимпиада 6-8 класс)
Сообщение21.08.2010, 22:05 
Измерялся рост учеников в классе. Измерялся с точностью до одного сантиметра. Без учета роста самого низкого ученика средний рост всех остальных учеников в этом классе составил 147 целых и 3/7 сантиметра. А без учета самого рослого ученика, он составил 148 целых и 4/7 сантиметра. Сказанно, что число учеников в классе не превышает 40. Найти средний рост всех учеников этого класса.


Это олимпиадная задача нашего города. Адрессована к ученикам 6-8-ого класса. Я уже давно не ученик. Олимпиада тоже давно прошла. А задача эта так же давно не дает покоя. Трудность в том, что если допустить опечатку, повлекшую отстутствие какого либо данного, то не могу предположить какого именно данного. При подключении любого дополнительного данного решение становится слишком очевидным. А между тем задача - олимпиадная.
Помогите избавиться от назойливой задачи.

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение22.08.2010, 00:03 
Мне кажется, что здесь нужно просто сообразить, что этот средний рост всех учеников заключен между числами $147\frac{3}{7}$ и $148\frac{4}{7}$.
Поэтому, если исходить из точности в один сантиметр, то между этими двумя числами имеется одно лишь целое число, а именно 148 сантиметров.
Если же настаивать на более точном ответе, например с точностью до $\frac{1}{7}$ сантиметра, то тогда можно показать, что всегда можно подобрать так числа (количеством не более 40), что их среднее значение будет равно любому числу из этого промежутка. Разумеется с сохранением условий по средним без крайних.

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение22.08.2010, 00:10 
ravil в сообщении #346087 писал(а):
Без учета роста самого низкого ученика средний рост всех остальных учеников в этом классе составил 147 целых и 3/7 сантиметра. А без учета самого рослого ученика, он составил 148 целых и 4/7 сантиметра.
А как средний рост без учёта самого рослого может быть больше среднего роста без учёта самого низкого?

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение22.08.2010, 00:33 
Да там опечатка просто.
Поменяйте числа местами и все.

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение22.08.2010, 00:43 
Аватара пользователя
Здесь, ИМХО, весь "фокус" во внимательном прочтении условия!
$n$ учеников в классе. Средний рост $n$ учеников без учёта роста самого маленького 147 целых и 3/7 сантиметра.
Средний рост $n-1$ учеников (т.е. не учитывается "лямка", как единица счёта, но учитывается его рост) - 148 целых и 4/7 сантиметра.

(Оффтоп)

Дальше и считать неохота, да и ночь на дворе...

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение22.08.2010, 01:06 
Ну из этих условий, Вы не посчитаете точно средний рост.
Вы можете только оценить разность между самым высоким и самым низким учеником.
А это ничего не даст для ТОЧНОГО решения.

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение22.08.2010, 01:24 
А если добавить условие, что у всех учеников разный рост?

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение22.08.2010, 01:30 
А это ничего не дает.
Даже при n=3 (при n=2 задача тривиальна) всегда можно подобрать три различных числа числа, так что:
1) Среднее двух наименьших равно $147\frac{3}{7}$
2) Среднее двух наибольших равно $148\frac{4}{7}$
3) Среднее всех трех равно любому заданному числу между первыми двумя.

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение22.08.2010, 01:31 
Числа целые, так что $n=7k+1$.

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение22.08.2010, 01:38 
Для начала хотелось бы понять условие.
Допустим, ученики упорядочены по росту: $a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_n$

Одно из предположений -- опечатка в условии, и правильная формулировка:
$1. \dfrac {\sum\limits_{i=2}^{n} a_i} {n-1} = 148~4/7$
$2. \dfrac {\sum\limits_{i=1}^{n-1} a_i} {n-1} = 147~3/7$

А ещё какие есть варианты?

Предложение Gravista я, к сожалению, не понял, ибо не знаю, что такое "лямка", о которой он пишет.

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение22.08.2010, 01:58 
У меня получилась верхняя оценка среднего роста (когда я учел, что все чила целые) $148\frac{19}{55}$.
Отсюда с учетом нижней оценки в 147, окончательный ответ 148.

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение22.08.2010, 02:14 
Sasha2 в сообщении #346132 писал(а):
У меня получилась верхняя оценка среднего роста (когда я учел, что все чила целые) $148\frac{19}{55}$.
Отсюда с учетом нижней оценки в 147, окончательный ответ 148.
А с чего Вы взяли, что средний рост должен быть целым?

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение22.08.2010, 16:15 
Если количество учеников $n$, общий рост учеников $L_0$, рост самого высокого $x$, а самого низкого $y$,
то можно составить соотношение:
$\dfrac {x-y}{8}=\dfrac {n-1}{7}$
из которого следует, как справедливо отмечал venco,
что $n=7k+1$ (где $k\leq 5$),
а также, что разница в росте $x-y$ кратна $8$.

Тогда можно составить другие соотношения:
$L_0-x=1032\cdot k$
$L_0-y=1040\cdot k$
$x-y=8k$
$2L_0-(x+y)=2072\cdot k$

Не берусь утверждать, но есть подозрение , что на основе анализа степеней четности членов, входящих в эти выражения,
решение все же можно найти.

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение22.08.2010, 17:17 
Батороев
Если я нигде не напутал, то средний рост учеников (в зависимости от $k=1\dots 5$) принадлежит отрезку $\left[\frac{1032k+149}{7k+1};\frac{1040k+147}{7k+1}\right]$, т.е. (объединяя отрезки) $\left[147\frac{17}{36};148\frac{19}{36}\right]$ (что не намного лучше $\left(147\frac{3}{7};148\frac{4}{7}\right)$), и без дополнительных данных выцепить его из этого отрезка не получится.
Правда, все вышенаписанное справедливо, если топикстартер действительно в условии перепутал местами числовые значения (иначе задача вообще не имеет решения).

 
 
 
 Re: О среднем
Сообщение23.08.2010, 08:47 
EtCetera
Соглашусь, что задача не корректная.
Для любого $k$ можно подобрать разные значения$x$ и $y$ такие, что будут удовлетворять условию, но давать разные ответы.
Например, $k=1$
$n=8$

$x=152$, $y=144$
$L_0 = 1032+152=1040+144 = 1184$

$\dfrac {1184}{8}=148$

$x=153$, $y=145$
$L_0=1032+153=1040+145=1185$

$\dfrac {1185}{8}=148,125$

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group