Пара слов о дельта-функции

[basil-777]

Мы знаем, что
$\int \limits_a^b f(x) \delta(x-\alpha) = f(\alpha), a<\alpha<b$

тогда будет ли верным такое решение:

$\int \limits_0^1 (-8\delta(1-x)\delta(1-z)) \ dx = 8\int \limits_0^1 \delta(x-1) \delta(1-z)\ dx = 8\delta(1-z)$
при $0<x<1$
?

Математика 7 говорит $-4\delta(z-1)$

[ShMaxG]

basil-777 в сообщении #345297 писал(а):

$ a<\alpha<b$

Вот то-то и оно...

[basil-777]

ShMaxG в сообщении #345299 писал(а):

Вот то-то и оно...

и?

[ShMaxG]

А то, что $\[\int\limits_0^1 {\delta \left( {x - 1} \right)dx} = \frac{1} {2} \ne 1\] $. Но $\[\int\limits_0^2 {\delta \left( {x - 1} \right)dx} = 1\]$.

[basil-777]

ShMaxG
Не пойму, из чего это следует.... Почему 1/2?

[ShMaxG]

Хотя бы потому, что функция $\[\delta \left( {x - 1} \right)\]$ симметрична относительно $x=1$. Поэтому можно считать, что интеграл по одной половине равен интегралу по другой.
Впрочем, Матлаб считает, что $\[\int\limits_0^1 {\delta \left( {x - 1} \right)} dx = 1\]$. Возможно, что значение интеграла просто по-разному определяется.

[basil-777]

Однако...

[terminator-II]

ShMaxG в сообщении #345301 писал(а):

А то, что $\[\int\limits_0^1 {\delta \left( {x - 1} \right)dx} = \frac{1} {2} \ne 1\] $. Но $\[\int\limits_0^2 {\delta \left( {x - 1} \right)dx} = 1\]$.

а можно подробней,
пусть $\delta$-функция определена на отрезке $[-1,1]$ тогда Вы хотите сказать, что $\int_0^1\delta(x)dx=1/2$ я правильно понял?

[ShMaxG]

terminator-II
Я привел результат вычислений Математики. И мне этот результат показался довольно объясняемым. Если что сказал не так, поправьте, пожалуйста, я в этих делах не специалист.

[terminator-II]

у Вас с товарищем ошибка в каждой строчке. Во-первых подумайте о том, что значит произведение двух обобщенных функций. Корректно его ввести вообще невозможно, как известно. Во-вторых, если $\delta$ функция определена на отрезке $[0,2]$ то запись $\int_0^1\delta(x)dx$ вообще не имеет смысла, поскольку обобщенная функция должна действовать на финитную гладкую функцию, а ступенька ($1$ при $x<1$ и $0$ при $x\ge 1$) гладкой не является.

-- Thu Aug 19, 2010 02:32:07 --

запись $\int_{0}^2\delta(x)dx=1$ тоже бессмысленна, но уже из-за финитности основных функций

[ShMaxG]

Пусть $\delta-$функция определена на отрезке $[0,1]$. Тогда запись $\[\int\limits_0^1 {\delta \left( x \right)} dx = 1\] $ имеет смысл? В данном случае она действует на беск. дифф. финитную функцию?

[nestoklon]

ShMaxG в сообщении #345359 писал(а):

Пусть $\delta-$функция определена на отрезке $[0,1]$. Тогда запись $\[\int\limits_0^1 {\delta \left( x \right)} dx = 1\] $ имеет смысл?

Строго говоря, нет. Было довольно давно обсуждение, какие проблемы могут возникать в подобных случаях.

[terminator-II]

ShMaxG в сообщении #345359 писал(а):

Пусть $\delta-$функция определена на отрезке $[0,1]$. Тогда запись $\[\int\limits_0^1 {\delta \left( x \right)} dx = 1\] $ имеет смысл? В данном случае она действует на беск. дифф. финитную функцию?

Нет
обобщенные функции на отрезке $[0,1]$ по определению действуют на гладкие финитные функции т.е. носитель которых принадлежит $(0,1)$

[ShMaxG]

terminator-II в сообщении #345370 писал(а):

на гладкие функции носитель которых принадлежит $(0,1)$

Все, теперь стало понятно, спасибо.
Меня еще сбила русская википедия с ее функцией Хевисайда, которая в нуле равна $\frac{1}{2}$.

-- Чт авг 19, 2010 14:02:39 --

А, вот еще вопросы есть. Пусть $\delta$-функция определена на $[0,1]$, функция $f \in D[0,1]$.
Тогда $\[\int\limits_0^1 {\delta \left( x \right)f\left( x \right)} dx = f\left( 0 \right)\]$?
А если область определения -- отрезок $[1,2]$, тогда $\[\int\limits_1^2 {\delta \left( x \right)f\left( x \right)} dx = 0\]$?

[terminator-II]

ShMaxG в сообщении #345372 писал(а):

А, вот еще вопросы есть. Пусть $\delta$-функция определена на $[0,1]$, функция $f \in D[0,1]$.
Тогда $\[\int\limits_0^1 {\delta \left( x \right)f\left( x \right)} dx = f\left( 0 \right)\]$?
А если область определения -- отрезок $[1,2]$, тогда $\[\int\limits_1^2 {\delta \left( x \right)f\left( x \right)} dx = 0\]$?

ShMaxG в сообщении #345372 писал(а):

А, вот еще вопросы есть. Пусть $\delta$-функция определена на $[0,1]$, функция $f \in D[0,1]$.
Тогда $\[\int\limits_0^1 {\delta \left( x \right)f\left( x \right)} dx = f\left( 0 \right)\]$?

Да, но еще надо заметить, что $f(0)=0$ вместе со всеми производными, для любой $f \in D[0,1]$.

ShMaxG в сообщении #345372 писал(а):

А если область определения -- отрезок $[1,2]$, тогда $\[\int\limits_1^2 {\delta \left( x \right)f\left( x \right)} dx = 0\]$?

последнее выражение не имеет смысла, на этот случай вводится такая дельта-функция $(\delta_a,f):=f(a), $ и $a$ уже принадлежит нужному множеству.