Уточнение задачи Кеплера о длине эллипса

[Mr. X]

Как известно (И. Кеплер), длина эллипса с полуосями $a\,,b\; (a>b>0)$ лежит в интервале $\displaystyle (\pi(a+b)\,, \pi\sqrt{2(a^2+b^2)})\,$ (т.е. заключена между длинами окружностей, радиусы которых $-$ среднее арифметическое и среднее квадратическое полуосей эллипса).

В какой половине (левой или правой) указанного интервала лежит длина эллипса?

[meduza]

Mr. X в сообщении #342333 писал(а):

В какой половине (левой или правой) указанного интервала лежит длина эллипса?

В обоих может. (Если $a/b$ превышает $\approx 5.993$, то в левой правой половине, иначе -- в правой левой.)

[Mr. X]

Осмелюсь заметить, что по моему мнению, Вы неправы. В случае Вашего несогласия с предыдущим заключением -- пожалуйста приведите 2 подтверждающих (численных) примера с конкретными значениями полуосей.

P.S. Пользуясь случаем, хочу внести редакцию в первый пост -- там следует читать : " Как известно (И. Бернулли),..." и далее по тексту.

[meduza]

1) $a=4$, $b=1$, длина эллипса $4a\,E(\sqrt{1-b^2/a^2})\approx 16{,}6696$. Середина интервала $(5\pi, \pi \sqrt{34})$ равна $\approx 17{,}0132$, т. е. длина лежит в левой половине.
2) $a=10$, $b=1$, длина эллипса $4a\,E(\sqrt{1-b^2/a^2})\approx 40{,}3549$. Середина интервала $(11\pi, \pi \sqrt{202})$ равна $\approx 39{,}604$, т. е. длина лежит в правой половине.

Извиняюсь, в прошлом моём посте надо переставить слова "левой" и "правой", но суть не меняется.

[Mr. X]

В первом примере значение эллиптического интеграла, по-моему, ошибочно.

[meduza]

Mr. X в сообщении #343860 писал(а):

В первом примере значение эллиптического интеграла, по-моему, ошибочно.

Нет, там всё верно. А вот у Вас в первом посте ошибка. Среднее квадратическое полуосей эллипса вовсе не равно $\pi\sqrt{2(a^2+b^2)}$.

Извиняюсь, аргументом у эллипт. интеграла должен быть квадрат экцентриситета, а я просто брал. (Не стоило из Википедии формулку брать.)

[Mr. X]

1) Нет, все ж-таки компьютерный счет дает, что длина эллипса с полуосями $4$ и $1$ равна $17,1568... .$

2) $\pi\sqrt{2(a^2+b^2)}$ -- длина окружности, радиус которой среднее квадратическое полуосей эллипса. В моем первом посте приписываемой Вами мне ошибки нет (перечитайте его внимательнее).

-- Ср авг 11, 2010 22:29:13 --

Ну, наберитесь смелости и зачеркните (предварительно убедившись) в своем посте "Нет, там всё верно."

[Mr. X]

Ну вот теперь "все верно", т.е. от чего ушли к тому и пришли.

[mihailm]

Ну теперь мы и ответ знаем в правой)

[Mr. X]

Ну, возможно.)