Просто разложение в ряд Лорана

[Builder]

Доброе утро,
У меня вопрос в следующем (Комплексный анализ):
Есть задача разложить в ряд $\exp(1/z)$ по степеням $z$.
В литературе скзано просто "подставляем в стандартное разложение $1/z$ вместо z". Насколько я понимаю точка z=0 не будет точкой аналитичности, а сущ. особой точкой. Вобщем получаем ряд Лорана. Но как объяснить такую "подстановку" и что стало с коэффициентами при положительных степенях $z$? Ведь производная в точке $z=0$ не определена,так? Их (коэффициенты) просто отбросили, чтоли? И опрадана ли такая замена для любой функции, то есть для разложения $\exp(f(x)) $ подставляем $f(x)$ вместо $z$ в стандартное разложение (если $f(x)$ аналитична в кольце)

[ewert]

Ряд для экспоненты сходится в любой точке, и какая разница, каким способом сама эта точка получена -- как непосредственно $z$, как ${1\over z}$ или как какое-нибудь там $\sin\sqrt{1-z^2}$.

[Builder]

Я понимаю что $1/z$ это непрерывное отображение из $ C $ в $ C $ и ряд соответственно тот же.
Но мне не ясно как формально высчитываются коэффициенты при положительных степенях $z$, если допустим мы не знаем о стандартном разложении?

[Builder]

Up! Вопрос еще в силе!

[mihailm]

Builder в сообщении #341265 писал(а):

Но мне не ясно как формально высчитываются коэффициенты при положительных степенях $z$, если допустим мы не знаем о стандартном разложении?

Учебник открывали хоть один?

[Builder]

Цитата:

Учебник открывали хоть один?

Я задаю вопросы после того как "открываю учебник".
А в учебнике указано коэффициенты вычислять через производные. Но они же в точке 0 не определены, как быть?

[ewert]

Builder в сообщении #341862 писал(а):

А в учебнике указано коэффициенты вычислять через производные.

но не для Лорана же. Читая -- желательно читать.

[Builder]

Цитата:

но не для Лорана же. Читая -- желательно читать.

Про производные это я додумал, каюсь.
Хорошо, тогда как определять интегралы для определения коэффициентов при положительных степенях $z$? Если они равны 0 то почему? ведь функция не аналитична в точке $z=0$! Поэтому обнулить интеграл по замкунтому контуру не можем. Или здесь требуется какая нибудь из теорем? Сохоцкого например, чтобы доопределить функцию в точке $z=0$?
PS: Либо я не замечаю слона )