объема тела, образованного вращением вокруг полярной оси

[polk]

здравствуйте! не могли бы вы помочь найти формулу для решения!?


Задание: найти объем тела вращения вокруг Ох $\rho^2 = \sin 2\varphi$, $0 \le \varphi \le \pi/4$.

Выделено из темы Приложения кратных интегралов (объем, масса и т.д.); формулы набраны в $\TeX$. / GAA

[GAA]

Перед тем как задавать вопрос на форуме воспользуйтесь поиском. Я поискал и нашел формулу, например, вот в этом сообщении post333024.html#p333024.

[polk]

Задание: найти объем тела вращения вокруг Ох

$p^2=sin(2\alpha)$, $ 0 \leqslant \alpha \leqslant \pi/4 $

$${\ 2\pi /3} \int_{0}^{\pi/4} (\sin2\alpha)^{\ 3/2} \sin\alpha d\alpha$$

$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$$

$${\ 2\pi /3} \int_{0}^{\pi/4}(2\sin\alpha\cos\alpha)^{\ 3/2} \sin\alpha d\alpha$$

$$-{\ 2\pi /3} \int_{0}^{\pi/4}(2\sin\alpha\cos\alpha)^{\ 3/2} d\cos\alpha$$

[polk]

$$\cos\alpha=\ x$$

$$-{\ 2\pi /3} \int_{0}^{\pi/4}(2\sin\alpha\ x)^{\ 3/2} d\ x$$

[GAA]

Сделайте замену $x= \cos\alpha$. Затем посмотрите, к какому стандартному типу интегралов принадлежит Ваш интеграл.

-- Вт 13.07.2010 20:18:52 --

Неправильно выполнили замену.

[polk]

где ошибка в замене?

[GAA]

Не заменили $\sin \alpha$ и не пересчитали пределы интегрирования.

[polk]

можете поправить,если вам не сложно