Объем тела вращения/определенный интеграл

[amfisat]

Здравствуйте! Меня затруднила задача: найти объем фигуры, вращ. вокруг Ох:
${(x^2+y^2)^2}\leqslant {ya^3}$
$a>0$

У меня получился в конце какой-то странный интеграл с 2-мя тригонометрическими ф-циями с рац. степенями ...
Моё решение (сначала перехожу к полярной системе):
$r\leqslant a\sin^{1/3}\phi$
$x(\phi)=r(\phi)\cos\phi=a\sin^{1/3}\phi\cos\phi$
$y(\phi)=r(\phi)\sin\phi=a\sin^{4/3}\phi$

$$V_x=-\pi\int\limits_{0}^{\pi/2} y^2(\phi) dx(\phi)=-\pi\int\limits_{0}^{\pi/2}a^2{\sin^{4/3}\phi} d(a{\sin^{1/3}\phi}\cos\phi)=...$$

$$=-1/3*(\int\limits_{0}^{\pi/2} (\sin^{2/3}\phi-\sin^{8/3}\phi )d\phi)$$

Всё ... а дальше - тупик ...

Может, кто-то сможет помочь ...

Заранее спасибо ...

[Trius]

amfisat в сообщении #332866 писал(а):

Моё решение (сначала перехожу к полярной системе):
r\leqslant a*\sin^{1/3}\phi

$1/3$ там откуда?

[amfisat]

После подстановки $x=x(\phi) , y=y(\phi)$ получаем:

$r^4 \leqslant r*a^3*sin\phi$


Сокращаем на $r$ и возводим в степень $1/3$ (чтобы справа был $r^1$ ) ...

[GAA]

Совершенно неправильно вычисляете объем тела вращения в полярной системе координат. Найдите в конспекте или рекомендованном учебнике формулу для объема тела, образованного вращением вокруг полярной оси плоской фигуры $0 \le \alpha \le \phi \le \beta \le \pi$, $0 \le r \le r(\phi)$

$V=\frac{2\pi}{3}\int_\alpha^\beta r^3(\phi) \sin \phi \, d\phi $.

Если тройные интегралы пройдены, то эта формула получается из формулы для объема в сферической системе координат. Если нет, то путем разбиения тела на шаровые сектора (разбиение фигуры вращения на сектора круга).

Добавлено

И проверьте пределы интегрирования.

[amfisat]

Ну да ... ошибка ... График:




$V=4\pi/3\int\limits_{0}^{\pi/2} a^3\sin^2(\phi)d\phi$

Разве не так ... ? - я разбиваю фигуру на 2 части (до Оу и после), ищу объем правой части, умножив объем на 2 ... - а первая часть - от $0$до $\pi/2$ ...

P.S. Тройные интегралы не проходили - 1 курс только ...

[GAA]

Теперь правильно выразили объем в полярной системе координат.

Если указанную мною формулу объема тела вращения в полярной системе координат не выводили на лекциях или практических занятиях (и не задавали вывести дома), то, возможно, имеет смысл вычислять так, как Вы первоначально записали. Только Вы потеряли возведение в квадрат и опустили обоснование (пояснения). Я бы на Вашем месте обязательно решил бы способом из первого сообщения и сравнил бы затраты сил.

(Оффтоп)

Звездочки для умножения ставить не надо. В вашем первом сообщении, я убрал эти звездочки всюду, за исключением одной строки. Каждую формулу следует окружать знаками $.

[amfisat]

Ага, спасибо ... И пределы интегрирования тоже в порядке ... ? Т.е. теперь можно просто брать интеграл - и всё ... ?

(Оффтоп)

Попробую сравнить эти 2 способа ... - авось получится одинаковый результат ...

[GAA]

amfisat в сообщении #333045 писал(а):

И пределы интегрирования тоже в порядке ... ?

Да.

amfisat в сообщении #333045 писал(а):

Т.е. теперь можно просто брать интеграл - и всё ... ?

Нет, еще выучить вывод, либо вывести формулу.

[amfisat]

Ну, эт само собой ... - куда без этого ... - надо ж понять ...

Еще раз спасибо ...