Многоугольники

[danneks]

Существует ли доказательство того, что наибольшее расстояние между двумя точками многоульника - его наибольшая диагональ?

[gris]

...

[ewert]

danneks в сообщении #338485 писал(а):

Существует ли доказательство того, что наибольшее расстояние между двумя точками многоульника - его наибольшая диагональ?

Возьмите любые две точки на границе. Закрепите одну из них, а другую пошевелите. Если та, другая, изначально находилась не в вершине, то при малом шевелении её хотя бы в одну сторону расстояние заведомо увеличится. Это означает: расстояние не может быть максимальным, если хотя бы одна из двух точек -- не в вершине.

[venco]

ewert в сообщении #338492 писал(а):

Это означает: расстояние не может быть минимальным, если хотя бы одна из двух точек -- не в вершине.

...максимальным...

[ewert]

Да, конечно.

Кстати, доказательство это -- вполне детское, соображения компактности здесь не нужны.

[мат-ламер]

Допустим мноугольник не выпуклый, и отрезок, соединяющий две его наиболее отдалённые вершины, ему не принадлежит. Можно ли назвать этот отрезок диагональю этого многоугольника?

[ewert]

"Если нельзя, но очень хочется, то -- можно." $\copyright$ Е.С.

[mihailm]

Вопрос мат-ламер'а натолкнул на такую мысль
а сторона это диагональ?
Если сторона не диагональ то утверждение неверно)

[gris]

В данном случае нет никакого разногласия в определениях. Что там, что сям диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной стороне. То есть как бы несоседние. А сам многоугольник может быть хоть самопересекающимся. Выпулость равносильна тому, что все диагонали лежат внутри (кроме концов, конечно)

Но даже для выпуклого четырёхугольника можно построить пример, как уже сказал mihailm, когда одна сторона большая, а диагонали меньше её.

[Батороев]

gris в сообщении #338570 писал(а):

Но даже для выпуклого четырёхугольника можно построить пример, как уже сказал mihailm, когда одна сторона большая, а диагонали меньше её.

Пожалуй, это можно сделать для любого выпуклого многоугольника.
Берем упомянутый Вами четырехугольник и сторону, противоположную наибольшей, заменяем на ломанную (не нарушая выпуклости фигуры, но и сильно этой выпуклостью не увлекаясь).

[gris]

(Оффтоп)

ewert писал(а):

"Если нельзя, но очень хочется, то -- можно." $\copyright$Е.С.

Почему Е.С.?

[ewert]

Потому, что, по слухам -- Григорий Горин (хоть я в этом и вовсе не уверен, ну да ладно)

[gris]

(Оффтоп)

Страшно подумать, что Вы подразумевали под этими буквами, ну да ладно.

Ой, оффтоп, оффтоп. А то я уж было принялся свою версию выкладывать. Но не утерплю. Фраза абсолютно в русском духе, тем не менее известна из еврейских анектодов про советы ребе, что потом Шолом Алейхем текстуально подтвердил, а идея была у Оскара нашего Wilde, хотя складно изложить её по англицки как-то не очень получается.

[ewert]

Под любым истинно русским анекдотом, если его поскребсти -- обнаружится еврейская основа. Это я вам уверенно, как истинный антисемит, скажу.

А что до тех букавок -- так то был всего лишь Евгений Сазонов, общеизвестный людовед и душелюб. Под коим, по слухам, тот самый Г.Г. в значительной степени и скрывался.