Две сферы, топология

[carpediem]

Помогите, пожалуйста с задачкой, никак не могу к ней подступиться:
Есть n и m мерная сфера. На каждой из них берется по точке и они соединяются отрезком.
Рассматриваем всевозможные отрезки, соединяющие точки на сферах. Что топологически будет образовывать совокупность этих отрезков?

[terminator-II]

carpediem в сообщении #333430 писал(а):

Помогите, пожалуйста с задачкой, никак не могу к ней подступиться:
Есть n и m мерная сфера. На каждой из них берется по точке и они соединяются отрезком.
Рассматриваем всевозможные отрезки, соединяющие точки на сферах. Что топологически будет образовывать совокупность этих отрезков?

каждый отрезок находится во взаимно однозначном соответствии с $S^n\times S^m$

[paha]

carpediem в сообщении #333430 писал(а):

Есть n и m мерная сфера. На каждой из них берется по точке и они соединяются отрезком.

Это топологическое пространство (назовем его $X$) гомотопически эквивалентно букету сфер $S^n\vee S^m$

carpediem в сообщении #333430 писал(а):

Рассматриваем всевозможные отрезки, соединяющие точки на сферах

"Отрезок" -- это "путь"?
Точки фиксированы, или это всевозможные пары точек из $X$?

[carpediem]

paha в сообщении #333456 писал(а):

Точки фиксированы, или это всевозможные пары точек из $X$?

Задача была дана в формулировке с отрезками.

paha в сообщении #333456 писал(а):

Точки фиксированы, или это всевозможные пары точек из $X$?

Всевозможные пары

[paha]

carpediem в сообщении #333457 писал(а):

Задача была дана в формулировке с отрезками.

что такое "отрезок" в таком пространстве?

-- Пн июн 21, 2010 17:21:27 --

carpediem в сообщении #333457 писал(а):

Всевозможные пары

в паре точки из разных сфер, или могут быть из одной? Или один из концов может быть на том отрезке, который сферы соединяет?

[carpediem]

paha в сообщении #333467 писал(а):

в паре точки из разных сфер, или могут быть из одной? Или один из концов может быть на том отрезке, который сферы соединяет?

Точки из разных сфер. То есть один конец "отрезка"(наверное действительно стоит понимать как путь) принадлежит одной сфере, а второй - другой.

[paha]

попробуем поставить задачу

Пусть $X$ получено склеиванием $S^m$, $S^n$ и $I=[0,1]$ (концы отрезка лежат на разных сферах), топология определяется естественной метрикой на каждой из частей (будем считать сферы обычными круглыми) и обозначим эту метрику $\rho$
Нас интересует пространство

$$ \Omega(X)=\{f:I\to X\,:\,f(0)\in S^n,\,f(1)\in S^m\}. $$

"естественной" топологией на $\Omega(X)$ принято считать компактно-открытую, которая в данном случае даже метризуема: $d(f,g)=\max\rho(f(x),g(x))$

carpediem в сообщении #333430 писал(а):

Что топологически будет образовывать совокупность этих отрезков?

Подразумевается гомотопический тип?

[neo66]

Это стандартная конструкция. Она называется джойн топологических пространств. Джойн двух сфер - сфера.

[paha]

neo66 в сообщении #333480 писал(а):

Она называется джойн топологических пространств

а... я вот не увидел в описании джойна...
Разумеется, топикастер имел ввиду его:)