дифференциал и производная

[Padawan]

1)

[terminator-II]

caxap в сообщении #332951 писал(а):

Читаю Зорича. Всё было нормально, пока не дошёл до функций многих переменных. В учебнике не разделяются понятия производной и дифференциала ($df$ и $f'$ считаются синонимы, причем также обозначается матрица якоби, которая (как я понял) являестя многомерным аналогом производной). Читать очень сложно. Не могли бы вы пояснить: это нормальная практика так отождествлять эти понятия? И если да, то нет ли какого-нибудь легкого введения, чтобы можно было "въехать в тему", а то у меня путаница в голове...

разница между производной и дифференциалом такаяже как между матрицей и линейным оператором

[caxap]

terminator-II
Т. е. вы согласны с вариантом 2) (диф-л -- оператор, производная -- его матрица) ?

Padawan
Ну а как же

caxap в сообщении #333215 писал(а):

$f':x\mapsto 2x$. (Как может это быть функцией от $h$, если $h$ в определении вообще нет?)

[terminator-II]

caxap в сообщении #333261 писал(а):

Т. е. вы согласны с вариантом 2) (диф-л -- оператора, производная -- его матрица) ?

по-моему так, но вообще-то я против такого буквоедства.

[Padawan]

caxap
я тоже против буквоедства. Действительное число $a$ можно рассматривать как линейный оператор на $\mathbb R$, действующий по правилу $h\to ah$.

[caxap]

terminator-II в сообщении #333265 писал(а):

я против такого буквоедства.

Padawan в сообщении #333270 писал(а):

я тоже против буквоедства.

И я. Но хочется разобраться, почему Зорич говорит, что диф-л и производная одно и то же (и даже обознчения являются просто синонимами $df(x)\overset{\mathrm{def}}{=}f'(x)$)? Да и матрицу Якоби он тоже считает, вроде бы, тем же. Разве так можно?

[Padawan]

Можно, если к ошибкам и неясностям не приводит. Что удобно в данном рассмотрении, тем и считайте.

[paha]

Это синонимы

Такое отождествление принято в дифгеометрии

гладкому отображению $f:M\to N$ ставится в соответствие его диференциал (производное отображение) ${\rm d}\,f:TM\to TN$ (другие обозначения для дифференциала $f_*$, $Tf$)

Здесь $TM$ -- множество пар $(m,h_m)$, где $m\in M$, а $h_m$ -- приращение в данной точке (касательные вектор)... В случае $M=\mathbb{R}^n$ имеем $TM=\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n$ и ${\rm d}\,f(m,v)=(f(m),Av)$ для некоторого линейного отображения $A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$... отображение $A$ также записывается как $A=({\rm d}\,f)_m$ а его матрица в координатах называется матрицей Якоби
Можно, конечно, называть
отображение $({\rm d}\,f)_m$ "дифференциалом отображения $f$ в точке $m$",
но по сути "дифференциал" -- это отображение касательных расслоений

Кстати, у аффинного отображения тоже есть дифференциал -- его линейная часть (см. напр. "Введение в алгебру" Кострикина), который иногда называют "производной"

[caxap]

Короче, ничего не понятно (3 мнения заслуженных участников и все разные. А насчёт "расслоений" я пока ниего не знаю и последний пост не совсем понял...). Ладно, оставим на будущее. Может когда-нибудь просветление наступит. Спасибо всем.

[ewert]

Дифференциал -- вовсе не сам оператор, а его значение на "пробном векторе" (в стандартной интерпретации -- на бесконечно малом приращении аргумента). А производная -- это как раз сам оператор. А матрица того оператора (в том, естественно, случае (конечномерном), когда само это понятие имеет смысл) -- это набор частных производных.

Всё вроде вполне однозначно и вполне общепринято. Единственная формальная неувязочка -- это отождествление в одномерном случае самой производной и её "матрицы" (т.е. попросту её численного значения). Но в одномерном случае вопрос о выборе базиса не стоит, так что на эту формальность вполне можно и наплевать.

[caxap]

ewert в сообщении #333454 писал(а):

сё вроде вполне однозначно и вполне общепринято.

Я посмотрел ещё в учебниках Камынина и Кудрявцева, там дифференциалом названо само отображение $df: h\mapsto f'h$.

ewert в сообщении #333454 писал(а):

Дифференциал -- вовсе не сам оператор, а его значение на "пробном векторе" (в стандартной интерпретации -- на бесконечно малом приращении аргумента). А производная -- это как раз сам оператор.

А что значит пробный? Произволный? Вот Padawan уже писал, что действительное число может рассматриваться как оператор. Но я вот не понимаю, как может число быть оператором? Ведь функции и числа -- разные "сущности". Оператор -- это функция, т.е. некоторая зависимость от $h$, которая каждому $h$ ставит некое значение. А число это число. По-моему логичней всего так: дифференциал это сама линейная функция $df(x): h\mapsto f'(x)h$ (а также его значение на конкретном значении $h_0$ -- $df(x)(h_0)$). Производная -- это то, что умножается на $h$, чтобы получить дифференциал, тобишь матрица Якоби (в одномерном случае от которой остаётся только число $f'(x)$ -- обычная одномерная производная). По-моему такое описания выглядит наиболее красиво, полностью согласуется с одномерным случаем, не надо вводить искуственные правила, согласно которым число $A$ может быть оператором $h\mapsto Ah$ (ведь логичней просто ввести функцию $f_A: h\mapsto Ah$). Хорхе, terminator-II, meduza в общем-то это и говорили, тоесть

terminator-II в сообщении #333256 писал(а):

разница между производной и дифференциалом такаяже как между матрицей и линейным оператором

-- Пн июн 21, 2010 17:52:57 --

Такой подход также объясняет, почему в Зорче (и как оказалось в Камынине тоже) производную и дифференциал не различают, также как в лин. алгебре часто не различают лин. отображение и его матрицу.

[paha]

caxap в сообщении #333497 писал(а):

как может число быть оператором?

Есть изоморфизм колец $G:\mathbb{R}\to End\mathbb{R}$, $G(1)=1_\mathbb{R}$
матрица оператора $G(a)$ в базисе $1\in\mathbb{R}$ -- это $a\in Mat_{1,1}(\mathbb{R})\simeq \mathbb{R}$.

$G(a)b=ab$

caxap в сообщении #333497 писал(а):

также как в лин. алгебре часто не различают лин. отображение и его матрицу

их различают всегда и это различие принципиально, исключение приведено выше

[caxap]

(Оффтоп)

paha
Насчёт первой части ответа я опять ничего не понял. На счёт

paha в сообщении #333505 писал(а):

их различают всегда и это различие принципиально, исключение приведено выше

по-моему я видел $\ge1$ учебника, в котором говорилорсь что-то вроде "поскольку соотв. между матрицами и лин. отображениями взаимно однозначно, то будем матрицу лин. оператора $A$ обозначать также $A$. Т. е. $Ax$ имеет смысл как применения оператора к $x$, так и умножения на матрицу. Результат в обоих случаях тот же." У меня, к сожалению, нездоровая педантичность и я не могу спать спокойно, пока не разберусь в разнице между диф-ом и производной. Вот-вот вроде бы просветление нашло и я думал, что диф-л это отображение, а проихзводая -- его матрица. Ан нет.

ewert, paha и др., помогите пожалуйста выбрать:
1) (а-ля Зорич и Камынин) Диф-л и производная абсолютно одно и то же. Это синонимы. И то и то -- отображения от $h$. Даже обознгачения $df\equiv f'$. Причём его действие равно умножению матрицы якоби на $h$. Матрица Якоби -- это просто матрица этоого отображения, она НЕ равна $df$ ($f'$).
2) Производная -- оператор. Причём его действие равно умножению матрицы якоби на $h$. Но производная $\neq$ матрица Якоби. Исключение: одномерный случай. Дифференциал -- это результат действия этого оператора на (непонятно какой-то) пробный $h$.

[мат-ламер]

caxap. Если Вы читаете Зорича, то пока Вы читаете именно его, так придерживайтесь его понятий и обозначений. Но имейте ввиду, что в других книгах терминология может быть немного другой.

[Хорхе]

А я вот склонен к буквоедству. Мне хочется, чтобы слова обозначали не единицы физической реальности, а смыслы. Мне хочется задушить того, кто придумал термин "производящая функция". В украинском языке, на котором меня заставляют преподавать, это называется прекрасным термином "генератриса" (прекрасен он тем, что в нем нет слова "функция").

(Оффтоп)

Это одно из немного, что я нахожу прекрасным в преподавании на украинском языке :)

Хотя термин "производящая функция" тоже хорош, но к месту. Это такая физическая (или аналитическая) маска генератрисы. И да, я с радостью говорил бы "многочлен" в алгебре и "многочленная функция" в матанализе.