2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение15.06.2010, 10:24 
Аватара пользователя
Хорошо. (Правда, я предпочитаю формулировку со словами "граница множества", но один чёрт.) И что же можно сказать про прямую на плоскости? Чем она хуже... Нет, минуточку, а сама плоскость? Открыта она? Замкнута?

 
 
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение15.06.2010, 10:27 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #331392 писал(а):
а сама плоскость? Открыта она? Замкнута?

Плоскость открыта. Для любой точки есть окрестность, целиком лежащая в этой плоскости. Аналогично открыты вообще все $\mathbb R^m,\ \forall m$, по-моему. А вот, к примеру, отрезок $[a,b]$ замкнут, т.к. у граничных точек таких окрестностей, целиком лежащих в отрезке, нет.

 
 
 
 Re: задача про расстояние
Сообщение15.06.2010, 10:36 
Аватара пользователя
Кхм. Ну. Прям даже как-то...
Скажите, а как выглядела бы ситуация "плоскость замкнута"? Так было бы, если бы... что?

 
 
 
 Re: задаа про расстояние
Сообщение15.06.2010, 10:39 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #331327 писал(а):
gris в сообщении #331239 писал(а):
Надо, чтобы множества было ограниченными.

Расстояние от компакта до замкнутого множества в случае их непересечения всегда ненулевое

Однако, gris компакта не требовал - только замкнутость.

 
 
 
 Re: задача про расстояние
Сообщение15.06.2010, 10:42 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #331397 писал(а):
Скажите, а как выглядела бы ситуация "плоскость замкнута"? Так было бы, если бы... что?

Если следовать тем определениям, которые я привел на прошлой странице, то для того чтобы плоскость была замкнута, её дополнение до $\mathbb R^m$ должно быть открыто. Но ведь $\mathbb R^m$ и есть плоскость (возьмём для простоты $m=2$)! Либо я что-то не понимаю, либо одно из двух.

 
 
 
 Re: задача про расстояние
Сообщение15.06.2010, 10:47 
Аватара пользователя
Ещё маленький шажок. Что представляет из себя упомянутое дополнение? Открыто ли оно?

 
 
 
 Re: задача про расстояние
Сообщение15.06.2010, 10:50 
Аватара пользователя
Дополнение $\mathbb R^2$ до $\mathbb R^2$? Это пустое множество. Я думаю, оно не удовлетворяет ни одному определению (у него вообще точек нет), но Зорич пишет, что его можно считать открытым. Также он пишет про открытость $\mathbb R^m$. А потом даёт определение, согласно которому множество и его дополнение одновременно не могут быть открытыми.

 
 
 
 Re: задача про расстояние
Сообщение15.06.2010, 10:59 
Аватара пользователя
Знаете, есть два способа относиться к тексту. Один - это понимать каждый отдельный факт, и тогда неважно, кто это сказал, зорич, шморич, whatever. А другой - это "верю-не верю". Вы за какой?
(Да, пустое множество. Да, в нём нет точек. Значит, дальше что?)

 
 
 
 Re: задача про расстояние
Сообщение15.06.2010, 11:04 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #331408 писал(а):
(Да, пустое множество. Да, в нём нет точек. Значит, дальше что?)

Значит нет такой точки, чтобы её окрестность целиком не лежала в $\varnothing$. Все (0) точек удовлетворяют определению открытого множества.
Либо, как я уже говорил, $\varnothing$ не является ни замкнытым, ни открытым. Ведь нет такой теоремки (я такой не видел), где было бы сказано, что множество обязано быть либо тем, либо тем.

 
 
 
 Re: задача про расстояние
Сообщение15.06.2010, 11:12 
Аватара пользователя
Откуда это "либо"?! Если оно удовлетворяет определению открытого множества, то какое может быть "либо"? Либо что? Либо оно специальным папским эдиктом выпилено из числа открытых множеств? :lol:

 
 
 
 Re: задача про расстояние
Сообщение15.06.2010, 11:19 
Аватара пользователя
ИСН
Ок, хорошо. $\mathbb R^m$, $\varnothing$ открытые. Не могли бы вы ответить на вопросы, написанные в "оффтопе" на прошлой странице?
ИСН в сообщении #331408 писал(а):
Знаете, есть два способа относиться к тексту. Один - это понимать каждый отдельный факт, и тогда неважно, кто это сказал, зорич, шморич, whatever. А другой - это "верю-не верю". Вы за какой?

Я за первый вариант. Но иногда натыкаюсь на противоречия, которые я описал на прошлйо странице, в которых бы желательно разобраться и сделать пометки на полях в учебнике.

 
 
 
 Re: задача про расстояние
Сообщение15.06.2010, 11:25 
Аватара пользователя
Замечательно. Всецело поддерживаю. Теперь: что такое замкнутость? Если множество открыто, то его дополнение, оно что?

 
 
 
 Re: задача про расстояние
Сообщение15.06.2010, 11:36 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #331427 писал(а):
Теперь: что такое замкнутость? Если множество открыто, то его дополнение, оно что?

Множество замкнуто, если его дополнение открыто, напр. $[a,b]$ и $(-\infty,a)\cup(b,+\infty)$. Это определение.

Рассмотрим в обратную сторону. Мн-во $G$ открыто. Если $C(G)$ замкнуто, то его дополнение $C(C(G))=G$ должно быть открыто. Подходит.
Если $C(G)$ открыто, то... тоже подходит?.. :| тут либо я всё понял, лиюо запутался. Верно ли я понимаю, что написанное выше определение не противоречит возможности сущствования множество такого, что оно само и его дополнение открыто?

 
 
 
 Re: задача про расстояние
Сообщение15.06.2010, 11:41 
Аватара пользователя
Верно. И Вы только что парочку таких множеств нашли.

 
 
 
 Re: задача про расстояние
Сообщение15.06.2010, 11:42 
Аватара пользователя
Вау! Спасибо большое!
А в остальных вопросах поможете разобраться?

 
 
 [ Сообщений: 66 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group