По мотивам Патнема

[worm2]

TOTAL,
имхо, бесполезно. $\pm 1$, расставленные в шахматном порядке, удовлетворят любым таким, даже косым, квадратам.

[TOTAL]

worm2 в сообщении #327873 писал(а):

имхо, бесполезно. $\pm 1$, расставленные в шахматном порядке, удовлетворят любым таким, даже косым, квадратам.

Если возможны только $\pm X$, то оба эти $\pm X$ могут быть только нулями.

[worm2]

Мои сомнения касаются только исследования значений в целочисленных узлах решётки с целью нахождения множества "пифагоровых треугольников-убийц" и построения с их помощью системы уравнений полного ранга. Они основаны на том факте, что чётность $\sqrt{m^2+n^2}$ (если оно целое, конечно) совпадает с чётностью $m+n$.

[TOTAL]

worm2 в сообщении #327920 писал(а):

Мои сомнения касаются только

Не понял, в чем сомнения.

[worm2]

Как я понял идею: мы рассматриваем целочисленную решётку. Уравнения f(A)+f(B)+f(C)+f(D) для соседних точек на ней, образующих единичный квадрат, дают нам недоопределённую систему. Затем мы сдвигаем эту решётку и поворачиваем её на всяческие углы, при этом добавляются новые узлы, и для них новые уравнения. Но за счёт того, что сетка частично сама с собой перекрывается, уравнений добавляется больше, чем неизвестных и мы хотим за счёт этого добиться, чтобы система уравнений имела единственное решение, естественно, нулевое.

Вот эта идея вызывает у меня сомнения. Я их проиллюстрирую вот таким рисунком:

Изображение утеряно (http://img249.**invalid link**/img249/5951/005s.png)

В двух решётках значения +1 (отмечены красными плюсами) и -1 (синие минусы) прекрасно согласуются между собой, и, есть опасения, будут согласовываться и в других случаях.

[TOTAL]

worm2 в сообщении #328745 писал(а):

и мы хотим за счёт этого добиться, чтобы система уравнений имела единственное решение, естественно, нулевое.

Очевидно, единственности не будет. Достаточно доказать, что других (отличных от показанных на рисунке) нетривиальных решений нет. (Рассмотрите правильный треугольник с единичной стороной. Значения в соседних вершинах должны иметь разные знаки. Об этом уже было сказано.)

[Djo7]

Скажите, а нужно указать эту функцию, или только доказать то , что она существует? И почему Вы приводите решения только для целочисленных и дискретных аргументов?